腔中超冷玻色气体的扩展哈伯德模型

2020-07-13陈煌杰郑东琛余炎强廖任远

山西大学学报（自然科学版） 2020年2期

陈煌杰,郑东琛,余炎强,廖任远

(福建师范大学物理与能源学院福建省量子调控与新能源材料重点实验室，福建福州 350117)

0 引言

自从1995年在实验上实现了爱因斯坦凝聚[1],超冷气体吸引了广泛关注,使得操控原子的技术在近二十年得到了快速的发展[2-3]。至今为止,超冷原子在腔中的研究已经成为量子计算模拟最重要的一门技术[4-5]。与此同时,不同的研究方法也伴随着实验的发展不断被提出[6-7],其中的哈伯德模型在强关联体系中得到了较好的计算结果[8-9],尽管最初的哈伯德模型早在1963年就提出[10]。

我们将讨论2015年的ETH小组所做的实验[11],通过将由光晶格囚禁的超冷玻色气体载入腔中,外部光子散射到被囚禁的原子上,并离域在腔模内,充当在无限范围内原子与原子之间相互作用的媒介,通过控制腔共振,达到对长程相互作用强度的调控,同时通过光晶格调控短程相互作用强度,可以实现不同相:电荷密度波(CDW)、超流(SF)和Mott绝缘体(MI)。

本文主要讨论带长程相互作用和短程相互作用的哈伯德模型,通过对该体系的哈密顿量进行分析,引入超流序参量,进行自洽平均场计算,分析不同长程相互作用强度下温度对体系的变化以及热力学性质的影响。

1 理论模型

假定在二维静态光晶格中的一个粒子,与一对腔膜产生相互作用,如图1所示,可以通过单粒子哈密顿量Hsp进行描述[2,12]:

Hsp=H0+VTrap(x,y)+

ћη(a†+a)cos(kx)cos(ky)-

ћ(Δc-U0cos(kx)cos(kx))a†a,

(1)

推广到多粒子体系的二次量子化哈密顿量为:

(2)

μ为有效化学势,g2D为修正过的短程相互作用[13],并引入Wannier方程:

(3)

(4)

其中:

Us=g2D∬dxdy|Wi(x,y)|4,

(5)

(6)

δ=U0M1N表示腔的色散位移,N为总粒子数,κ为腔光子的耗散率,将上式代入公式(4),得到扩展哈伯德模型的哈密顿量[11]:

(7)

当tij/Us较大,跃迁动能项占主导影响时,粒子能在各个格点之间跃迁,格点上粒子数不被限制,此时体系处在超流态;当tij/Us较小,跃迁动能项不占主导影响时,粒子无法在格点之间跃迁,被固定在格点上,同时相邻格点之间的长程相互作用Ul与同一格点内的短程相互作用Us形成相互竞争,允许粒子以不同方式占据分布。当粒子数均匀分布时,此时称体系处在Mott绝缘态;当粒子不均匀分布,交替占据格点时,则称体系处在CDW态。

2 分析与讨论

在0K下体系处在基态时,假定粒子在格点之间无法跃迁,即tij/Us=0。这时,系统的能量可以精确求解。

(8)

而长程相互作用项改写为:

(9)

于是得到平均一个大格点的本征值能量为:

(10)

将上式改写,最终得到平均近似下每个大格点Ho的本征能量为:

(11)

图2 体系处在基态强关联极限下的相图,即tij/Us=0

(12)

用微扰法计算二级能量微扰[15]

(13)

Eep=E(ne+1,no)-E(ne,no)

Eeh=E(ne-1,no)-E(ne,no)

Eop=E(ne,no+1)-E(ne,no)

Eoh=E(ne,no-1)-E(ne,no)

(14)

此时体系的基态能量:

(15)

(16)

从图3(a)中可以看出,当Ul/Us=0时,图3(a)为无长程相互作用的哈伯德模型的相图[17];图3(b)当Ul/Us=0.2时,则出现CDW态;之后随着Ul/Us的增大,Mott相的区域变小,而CDW相的区域则变大,如图3(c)所示,格点之间的相互作用力会使体系粒子分布发生变化。

将哈密顿量HMF在基矢|ψ〉=|ne〉⊗|no〉下对角化处理,并在条件φi=〈bi〉下进行自洽求解。

从图4(a)可以看出，随着长程相互作用越来越大,Mott绝缘相到超流相的转变所需要的隧穿参数越来越小;从图4(b)中可以看出，随着长程相互作用越来越大,玻色子之间的相互作用越强,使得超流相到正常流体的转变温度越来越大。

3 结论

通过自洽平均场,对体系进行自洽求解分析,计算得到体系在零温下的基态相图和在有限温时长程相互作用对体系的影响。计算发现,长程相互作用会使体系出现CDW态,并且其区域会随长程相互作用增大而增大。从序参量分析,长程相互作用增大会使Mott相到超流相所需的隧穿动能减少,超流相到正常流体的转变温度则增大。对于体系超流态的热力学性质,长程相互作用的增大会使粒子数增大,而熵和比热容则变小。