问题引导，变式探究

师斌

摘  要：提高高中數学课堂教学效率的策略：

①深挖例题;②问题引导;③变式探究。

关键词：课堂教学;问题引导;变式探究;案例分析

著名教育学家波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生挖掘题目的各个方面，通过这道题目，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”在高中数学课堂教学过程中，尤其是习题课和复习课的教学，教与学都很容易陷入汪洋题海，不能自拔，效率低下。对例题、习题进行变式探究，是激发学习兴趣、拓展思维空间、提升数学素养、提高学习效率的一条十分有效的途径。

教学案例1：圆锥曲线中直线斜率乘积为定值问题

问题的提出：（人教A版高中课本选修2-1第80页复习参考题A组第10题）已知△ABC的两个顶点分别是（-5，0），（5，0），且AC、BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），试探求顶点C的轨迹。

解析：（Ⅰ）设C（x，y），则由题知，

化简得即为点C的轨迹方程.

当m>0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（不含A、B两点）;

当m<-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（不含A、B两点）;

当m=-1时，点C的轨迹为圆心为（0，0），半径为5的圆;

当-1

思维拓展：此题揭示了有心曲线家族成员的圆、椭圆、双曲线的统一性和内在的联系，那么它们有没有一些共同性质呢？

探究问题1：大胆类比、提出猜想

猜想1、

猜想2：

猜想3：

探究问题2：论证猜想，得出结论

椭圆性质1：不平行于坐标轴的直线l与椭圆相交于A、B两点，P为弦AB中点，则。

椭圆性质2：不平行于坐标轴的直线l与椭圆相切与点P，连接OP，则。

椭圆性质3：过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，P为椭圆上的任一点，连接AP、BP，则。

探究问题3：双曲线有没有类似结论呢？类比猜想并论证。

双曲线性质1：

不平行于坐标轴的直线l与双曲线相交于A、B两点，P为弦AB中点，则。

双曲线性质2：不平行于坐标轴的直线l与双曲线相切与点P，连接OP，则。。

双曲线性质3：过原点的直线l与椭圆 相交于A、B两点，P为椭圆上的任一点，连接AP、BP，：则。

探究问题4：定理应用

高考真题1：（2015年高考全国二卷20题第1问）已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

（II）若l過点（，m），延长线段OM与C交于点P，

四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由。

高考真题2：（2013年高考山东卷22题第3问）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，試证明为定值，并求出这个定值.

波利亚曾形象地指出：“好的问题同某些蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”高中数学课堂教学中的变式教学就是这样一个“采蘑菇”的过程，由一个基本问题出发，运用特殊化、一般化、分解、重组、增加背景、改变要素以及类比、联想等思维方法，引出一连串的问题，而通过问题探究式学习，会使我们更好的理解问题的本质，提高思维水平，感受数学的美，提升数学素养，是提高高中数学课堂教学效率，深度学习的有效策略。

按照课程标准，在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养，使学生获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）;提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”），在数学教师每天的课堂教学中，坚持“深挖教材和例题，问题引导，变式探究”的教学策略，既抓住“问题是数学的心脏”这一学科特点，也是落实核心素养切实有效的途径。

参考文献

[1]  G·波利亚.《怎样解题》——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]  范永明.复习教学中练习讲评的有效性探索[J].中学数学，湖北大学《中学数学杂志社》，2017-3-上（高中版）.