由《四边形内角和》证明方法引发的思考

摘 要：数学学科核心素养要求培养学生的创新和实践能力，《四边形的内角和》一课中，教师惯用的证明方法就是课本中的分割法，将四边形分割成三角形，利用三角形的内角和证明，在这个过程中，是否有其他的证明方法，如何充分發挥学生的主观能动性，值得我们去反思总结，学生想出来的办法是否严谨，值得我们去研究探索。

关键词：四边形;内角和;证明;转化

本学期在教授人教版教材八年级上册《多边形的内角和》一节的课前备课时，证明四边形内角和为360°，根据教材，利用分割法将四边形分割成三角形来证明。四边形转化为三角形求内角和，这种办法对于学生来说易想且简单，并且有利于帮助学生利用规律求出n边形内角和，于是我预设了以下几种学生容易想到的办法。

图1直接连接一条对角线，将四边形分割成两个三角形，即180°×2=360°。

图2连接两条对角线AC、BD，形成四个三角形，四边形内角和相当于4个三角形内角和减去周角360°，4×140°-360°=360°。

这四种方法中，图1和图2是绝大部分学生能够想到的办法，对于少部分学生来讲，图3与图4就需要教师的引导。

老师会提问，图2中的点P是两条对角线的交点，比较特殊，如果点P没有这么特殊，你还能将四边形分割成三角形吗？

学生经过教师的引导，可以得出图3的方法，教师再提问，点P还能取在其他地方吗？点P能取在四边形的边上吗？学生可能会得出图4。总结得出P点可以取在四边形内部，也可取在四边形的边上，当点P取在对角线交点处，其实就是特殊的图1。

教学这节课时，老师都会探究这几种方法，以上几种方法可以类比到其他的多边形中，很多时候，我为了教授完课堂教学的内容，放弃了让学生深入挖掘的想法，从而扼杀了学生思维的创造性和发散性，这并不是真正的数学教学。于是这次我在备课的时候，准备让学生畅所欲言，给他们时间，让他们思维在探索的世界里遨游。

如备课时的预设情景一样，在实际的教学过程中，学生很顺利的得出上面四种方法。

老师再提问：点P除了取在四边形内部以及边上，还能取在其他地方吗？

学生们兴趣一下就提高了，他们很快就得出了点P取在四边形外的情形。

学生们在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°，即180°×3-180°=360°。

到了这里，学生的积极性就被调动起来了，任教的两个班级想了很多方法。

有同学就想出了这样一种办法，他将四边形分割成了三个直角三角形和一个长方形。

老师：同学们，这种方法成立吗？

学生经过计算，四边形的内角和可以是三个三角形的内角和加上4个直角的度数，减去多余的三个平角。

老师给予答案的肯定，再提问，所有的四边形都可以这样做辅助线吗？如果它本身是一个长方形呢？还能这样做吗？

学生：不能

老师：那这种方法可以用来证明四边形内角和吗？

学生现在就开始产生意见的分歧，经过讨论，他们一致认为可以，但是要分类，可以分为特殊的四边形和一般的四边形讨论。

老师：那我们之前的几种方法需要分类吗？

学生：不需要，因为所有的四边形都可以通过连接分割成三角形，图1～图4的方法适合于一切四边形。

看着同学们在矛盾中顿悟出来的想法，我感到无比的愉悦。这正是这节课的目的所在。

学生又提出，这个图形太特殊，可以不用作水平和竖直的线，他们又画出以下图形：

学生列式3×180°+360°-180°=360°

学生：可以三个三角形的内角和加上中间四边形360°，再减去多出来的3个平角。

老师：这个方法对吗？

学生A：不对，我们的目的就是为了证明四边形的内角和360°，这里直接使用了。

老师对回答给予肯定，并对以上两种分法进行了区别分析。

老师：还有的别的方法可以证明吗？上一节课我们是怎么证明三角形内角和的？

学生回忆通过做平行线。

老师：那四边形内角和能不能作平行线证明了？同学们下课后去思考一下还有没有其他方法。

到这里下课铃声响起了，我不得不停下本堂课的继续深入了，但是下课不代表停止思考，我把剩下的思考空间作为课后作业留给了学生，让他们继续拓展，以实现学生方法和思维的延伸。

两天以后的一节练习课，专门就学生找到的方法进行了讨论。

学生A：我最开始尝试做BD的平行线AE，并延长BA，

∵∠B=∠FAE，∠D=∠CEA，

∴∠BAC+∠B+∠C+∠D

=∠BAC+∠FAC+∠CAE+∠C+∠CEA

=180°+180°

=360°

在此处键入公式。

老师：同学们她证得对吗？

基本上所有学生认为这种证明方法没有问题，是对的，并且还有同学提出，他这样画辅助线麻烦了，不需要延长BA，只需做出BD的平行线AE，此时四边形的内角和就等于两组同旁内角360°，再加上一个三角形的内角和180°，减去多算的一组邻补角之和180°即可，都得到了学生的认可。

但是在我刻意有疑问的目光中，同学们逐渐感觉出不对了。

学生B发现了：我认为这种证法不完整，也应该像上一节课有种方法一样分类证明，是不是所有的四边形都能做出其中一边的平行线呢，如果四边形本身有一组对边或两组对边都平行的话就不需要做辅助线，直接利用平行线的性质，同旁内角互补可证。所以如果要用这种方法，那就要几种情况讨论，要分类，要严谨。

其他同学这才恍然大悟。

虽然发现这点的同学不多，但是哪怕只有一位学生从之前的证明中已经得到反思，并且应用了起来，也是教学的一种进步，他们已经意识到了数学的严谨性。

所以在后面学生C提出了可以过不同顶点做同一条边的两条平行线的方法时，他自动参照了同学B的回答，将他的证明步骤完善了。

大家经过又一轮的讨论，又得出其他几种平行线的做法，在这就不一一赘述了。

学生：方程思想行不行？

设四边形内角和为x，大四边形的内角和就等于两个小四边形的内角和减去两个平角，可以列一个方程x=2x-2×180°，解得x=360°。

此时，我觉得我的内心是比较激动的，以前确实没有想过用方程去证明，但仔细一想，这个方法不对，它的前提建立在四边形内角和都相等的基础上，学生忽略了这一点，这一点也是以后几何证明中经常犯的问题，此时正是一次好的教育机会。

老师：你们觉得可行吗？

这次全班是一致的同意意见，对的。

我注视着他们然后微笑，学生们很了解，当老师出现了这副神态的时候，肯定有问题了。

于是他们开始一步步排查，得出的结论还是没错。满脸好奇的样子！

老师：我们证明的是什么？

学生：四边形内角和360°。

老师：方程中用到了三个四边形，我们都没有证明出四边形内角和360°，你怎么知道它们的内角和是相等的，证明能都设为x？

学生们恍然大悟。

老师最后提出问题：这些证明方法的方法，能用来证明五边形，六边形、n边形的内角和吗？通过我们对四边形内角和的探索，你有哪些收获呢？

课后，我调查了学生们对本节课的想法，学生们普遍的想法是从来没有觉得四边形的證明方法有这么多，自己能想出一种不同的方法很有成就感，也从其他同学不完整以及错误的证法中，得到一些启发，学会思辨，体会数学的严谨。

当然四边形的内角和证明方法肯定还有许多，这些就等待我们在以后的教学中再继续引导学生去挖掘。数学是严谨的，是发散的，是有趣的。数学核心素养要求教师在教学过程中培养学生的学习能力，这样的课堂，帮助培养学生的发散性思维，实际上也是在培养学生的创新精神和实践能力，也是给学生们提供了更广泛的思维空间，让他们在多角度，多侧面，多途径的思考中，筛选出最佳的解法，这些都是作为教师的我们应该做的，在新课标要求下，教师不应该一味的照本宣科，应该改革创新，及时反思，并且不断改进，只有这样才能培养出具有独立思辨能力的未来人。

作者简介：

唐颖，重庆市，重庆市人和中学。