单元重构：凸显知识联系

陈云

摘要：数学知识的教学，教师应引导学生在分析、比较中厘清相关知识之间的区别和联系，理解知识的本质，从数学最本真的意义上去感受知识的整体架构。对苏教版小学数学二年级上册《表内除法（一）》单元内容进行分析，重构为《认识平均分》《认识除法》《用口诀求商》3个课时，并给出相应的教学设计，以凸显知识之间的联系。

关键词：小学数学单元重构知识联系表内除法

数学知识的教学，教师应引导学生在分析、比较中厘清相关知识之间的区别和联系，理解知识的本质，从数学最本真的意义上去感受知识的整体架构。教学苏教版小学数学二年级上册《表内除法（一）》单元，笔者尝试对单元内容进行分析、重构，并给出相应的课时教学设计，以凸显知识之间的联系。

一、单元内容分析

除法作为乘法的逆运算，其意义建构必然要建立在乘法的基础上，且运算操作也必须运用乘法口诀，这决定了除法的学习要和乘法一以贯之。因此，苏教版小学数学教材将《表内除法（一）》安排在二年级上册第四单元，紧接第三单元《表内乘法（一）》。

本单元的内容可以分为三个板块：认识平均分、认识除法和用口诀求商。具体安排如图1所示。

从中可以看到，教材在“认识平均分”板块安排了比较多的内容（4道例题），并且非常注重学生的动手操作（把两种平均分的情形在开放的操作和思考中进行比较），以帮助学生对“平均分”的概念形成具体的表象支撑，从而为除法的认识奠定基础。紧接着，教材通过例5和例6，分别阐释了“平均除”和“包含除”两种情形，旨在帮助学生逐步学会用除法算式表示平均分。这样的安排能分散难点，助力学生学会一定程度的抽象和概括。

但我们同时也会遇到这样一些“疙瘩”：

1.“认识平均分”和“认识除法”两个板块都把“平均除”和“包含除”分到了不同课时进行教学（例2是已知每份数量的平均分，例3是已知份数的平均分;例5是“平均除”，例6是“包含除”）。这样虽然有利于学生逐一突破对不同形式的“除法”的理解，固化某一种分法的过程及结果，但同时也可能会打散知识间的联系，不利于学生统整知识点。

2.在乘法的学习中，教材通过具体情境来帮助学生理解乘法是“求相同加数的和的简便计算”，很好地解释了乘法产生的必要性;而在除法的学习中，教材却把对“平均分的过程就是连续减几个相同减数的问题”的理解放到了“用口诀求商”板块（如图2），这样的编排相对滞后，也显得突兀，没有很好地解释除法算式产生的过程及其必要性。

3.除法是乘法的逆运算，除法的产生和计算都与乘法有着密不可分的关系，但教材并没有在例题中安排相关内容的专题突破，只在练习中安排了除法算式与乘法算式的比较;同时，作为除法的初步认识单元，理解除法的含义和用口诀求商既是本单元教学的重点，又是教学的难点，但教材对这些内容的突破也稍显用力不够。

二、单元内容重构

（一）基于学情，精简课时

二年级学生在经历了一年多的数学学习后，已经有了用“分与合”的方法解决问题的经验，也具备“怎样分就公平”的丰富的生活经验;其思维处于由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过渡阶段，具备一定的迁移能力。因此，学生理解“平均分”的难度并不大，教学应重在让他们经历和比较两种“平均分”的过程，紧接着两种平均分的比较之后，可以出现除法的两种形式，而在“平均除”和“包含除”比较的同时，可以增加除法与乘法的比较，最后可以结合除法与乘法的关系引出“用口诀求商”。这样，虽然增加了除法与乘法比较的相关内容，但新授课时反而可以由5课时精简为3课时。

（二）单元整合，重组内容

由5课时改为3课时，教学内容就要重组：（1）把“用口诀求商”板块中“除法与减法的联系”移到第一课时，引导学生用连减的方法记录平均分的过程;（2）“平均除”和“包含除”对应“已知份数的平均分”和“已知每份数量的平均分”两种分法，可以一边比较两种平均分过程与意义上的异同，一边引入不同形式的两种除法;（3）引入“把一些相同数量合起来”和“把一个总数分成一些相同数量”的分与合的实际问题，通过除法与乘法的比较，使学生感受除法各部分的意义及名称，并通过除法算式与乘法算式各部分之间的联系自主找到“求商”的方法。

（三）把握重点，凸显联系

重组后的3课时，分别对应不同的教学重点。

第一课时《认识平均分》的重点：经历“已知份数”和“已知每份的数量”两种平均分的过程，尝试用减法记录平均分的过程，为除法的教学奠定基础。

第二课时《认识除法》的重点：经历从“平均分”的过程中抽象出除法算式的过程，发现和总结不同的分法列出的除法算式意义上的联系与区别。

第三课时《用口诀求商》的重点：从除法与乘法的比较中发现两者的联系，找到除法算式与乘法算式各部分之间的關系，理解除法运算为什么可以用乘法口诀，并找出一句口诀能解决哪些数学问题。

三、单元教学设计

（一）第一课时《认识平均分》

1.情境引入，发现平均分。

出示问题情境：美工小组正在做纸鹤，王老师把准备好的彩纸平均分给了4位同学，每位同学拿到了3张，你知道王老师准备了多少张彩纸吗？

指名一位学生列式并说一说为什么用乘法计算。

导入：生活中大量存在着像这样要把一些相同数量合成一个总数的问题。

改变问题情境：这时候，又来了两位同学，王老师要重新分配这些彩纸，你觉得要怎么分？

预设：每人分得同样多才是公平的。

小结：每人分得同样多在数学上叫作平均分;生活中也大量存在着像这样要把一个总数分成每份同样多的问题。

[设计意图：从乘法问题引入平均分，让学生初步感知除法与乘法的互逆关系，帮助学生从“合”与“分”的角度去理解乘法与除法的联系。这样的设计贴近学生的“最近发展区”，能有效调动学生学习的内在需求。]

2.联系生活，解读平均分。

提问：你认为怎样就是平均分？

学生根据自己的理解交流，并最终得出：平均分就是每份同样多。

学习活动1：联系生活，说一个平均分的故事。

学习活动2：图3中的几种情况是不是平均分？为什么？

[设计意图：引导学生联系已有的生活经验和已学的知识说一说平均分，并结合具体的事例初步建立平均分的表象。]

3.解决问题，经历平均分。

（1）已知每份数量的平均分。

出示问题：这个（不透明）袋子里有一些彩珠，老师想给每位同学两颗，能分给几位同学呢？

先让学生猜测，然后点出：胡乱猜测没有意义，可以实际分一分。

指名一位学生上台操作分的过程：先拿出两颗递给第一位同学。

提示：现在老师袋子中的彩珠发生了什么变化？（少了两颗）怎么记录这个过程？

引导用符号（如“？”）代替袋子中未知的数量，拿走两颗就是减去2。

学生继续操作并记录，最终得到：？-2-2-2=0。

引导小结：①总数是6;②6里面有3个2;③已知每份数量的平均分的过程可以表示成连减的算式。

（2）已知份数的平均分。

出示问题：老师这里还有一个袋子，里面也有一些彩珠，我想把它们平均分给3位同学，每位同学能分到几颗彩珠？

组织学生交流分法，并请一位学生上台操作。

结合学生操作，逐级追问：为什么不像刚才那样，把每人应得到的彩珠直接分给他？当每人分得一颗彩珠时，袋子中的彩珠总数发生了怎样的变化？

引导交流、总结：因为不知道每人能分到几颗，所以要逐次分;为了保证每人最终分到的數量同样多，可以一次给每人分一颗，如果还有剩余，再接着分。

再请一位学生上台分一分，其他学生记录分的过程：？-3-3-3-3=0。

引导小结：①总数是12;②12平均分成3份，每份是4;③已知份数的平均分的过程也可以表示成连减的算式。

（3）“动手做”。

提问：用18个相同的小正方形拼成不同的长方形，你想怎么分？

引导分两种情况思考：①先确定要分的行数，再实际分一分，看每行能分几个;②先确定每行的数量，再试一试可以分成几行。

[设计意图：在开放的活动中，学生通过对比感受到，虽然两种分法分的过程有区别，但其本质还是有内在联系的。用减法记录分的过程，建立起减法和除法之间的联系，为除法的产生做铺垫。“动手做”环节，用18个小正方形拼长方形，是对两种平均分过程的再比较，同时也是对除法与乘法联系的再感知。]

（二）第二课时《认识除法》

1.结合平均分，引出除法。

出示问题：24只气球，每4只扎一束，可以扎成几束？

引导列出算式（24-4-4-4-4-4-4=0），得出：24里面有6个4，所以可以扎成6束。

追问：这是一个什么问题？减法表示什么？如果这里有48只气球呢？96只气球呢？

引导发现：随着数字增大，用减法来解决太麻烦了。

引发思考：在前面的学习中，我们知道，一些相同加数相加时，为了简便，可以列乘法算式，那么想想看，这里连续减一个相同的减数，会不会有什么简便的方法呢？

引入除法：像这样平均分的问题在数学上可以用除法来计算，把24只气球平均分，每份4只，就可以写成24÷4;刚刚我们已经知道可以分给6个人，所以就等于6。

介绍除号的写法和读法，以及表示的意义（平均分）。

[设计意图：引入较大数平均分的问题，让学生感受用连减的方法来解决很麻烦;再结合乘法是“求相同加数的和的简便计算”这一已有认知，迁移猜想连续减一个相同减数，一定也有相应的简便计算，顺理成章地引入除法。]

2.认识除法，解读算式的意义。

结合分气球情境，指名学生说一说“24÷4=6”中每个数字表示的含义。

提问：回顾上节课“分彩珠”的过程，6颗彩珠，每人分两颗，可以分给几位同学？这个问题你能用除法算式来表示吗？并说一说这道算式表示的意义。

置换问题情境：24只气球，平均扎成4束，每束有几只？这个问题可以列成除法算式吗？为什么？请你列出算式，并说一说算式的每一部分分别表示什么。

引导用同样的方法解决上节课其他“分彩珠”问题。

[设计意图：通过相同情境中的两种不同分法，引导学生了解除号和除法算式所表达的意义，并用除法解决上节课中的平均分问题，进一步感受用除法解决平均分问题的便捷。]

3.比较除法，认识各部分的名称。

同屏出示两道除法问题和算式，引导观察比较：这两个问题有什么相同点和不同点？

引导小组交流、全班汇报。相同点：都是表示平均分的问题，所以都是用除法解决;都是已知总数（教师结合学生的汇报介绍：这个总数在除法中就是被除数，也就是这个总数被平均分了）。不同点：一题是已知每份的数量，另一题是已知份数（教师结合学生汇报介绍：这个已知的量不管是每份的数量还是份数，在除法中就是那个被连续减的减数，叫作除数）;最后求出来的结果表示的意义也不同（教师介绍：这个最终结果的意义不同，但都叫作商）。

请学生独立完成课本“反馈习题”，并指出被除数、除数和商分别在哪里，表示什么意思。

提问：除法中这个总数叫“被除数”，减法中的总数叫“被减数”，都有一个“被”字，你能说说你是怎么理解的吗？

引导发现：“被除数”和“被减数”都是总数，都是被分的对象;减法可能不是平均分，除法一定要是平均分;减法算出的是其中一个部分的数量，除法算出的是所有部分相同的数量或有几个相同的部分。

[设计意图：通过对“平均除”和“包含除”两种除法的对比，引导学生发现其本质意义是相同的，进一步强化对除法的理解。通过“被除数”“被减数”两个名称上的相似，引导学生找到除法与减法的联系与区别，打通知识间的“隐蔽通道”。]

（三）第三课时《用口诀求商》

1.联系实际，感受除法与乘法的互逆关系。

出示问题情境：学校给每个班分发了一些必读书籍，王老师把这些书整整齐齐地摆放在书桌上，（1）每堆放4本，5堆一共多少本？（2）一共有20本，每堆放4本，可以放几堆？（3）一共有20本，平均分成5堆，每堆可以放几本？

指名学生列式并说一说为什么用乘法或除法计算。

提问：观察这3个问题，你能说说什么时候用乘法计算，什么时候用除法计算吗？

引导发现：问題（1）求总数，5个4相加就能得到总数，可以用乘法计算;问题（2）和问题（3）都是已知总数，把这个总数连续减，也就是平均分，可以用除法计算。

[设计意图：通过同一情境下的除法与乘法问题的比较，感受乘法是求总数，除法是已知总数求份数或每份数量，除法与乘法之间存在互逆关系，为用乘法口诀解决除法问题做铺垫。]

2.用口诀计算。

提问：乘法你能用乘法口诀计算，那除法呢？不看图你会计算吗？你是怎么想的？

预设：（1）从乘法中去找，乘法的积是被除数，一个乘数是除数，另一个乘数就是商;（2）20÷4，其实也就是想4个几是20，同样可以用4的乘法口诀计算;（3）实际分一分，就知道商是几;（4）用20连续减4，看能减几个4。

引导比较：这几种算法有什么共同点？哪种方法更简便？

提问：通过这几道题的计算，你发现了什么？

引导发现：“四五二十”这句口诀可以用于计算4×5、5×4、20÷5、20÷4四道算式。

反馈练习：（1）看算式想口诀;（2）看口诀写四道算式。

[设计意图：引导学生先用乘法口诀解决乘法问题，再思考怎么计算除法算式。在对多种计算方法的比较中发现其实质都是求4个几是20，归结到乘法口诀可以解决的问题上来，并通过反馈练习巩固一句口诀对应的乘法和除法算式。]

3.自主编题。

出示图4，提问：看图，你能写出一道乘法算式和两道除法算式吗？

指名学生列式。

引发思考：你要运用哪些数学信息，提出怎样的问题，才能列出乘法算式？要列出除法算式呢？你又是怎样计算这些乘法、除法算式的？

[设计意图：从看问题列算式，到看图提出用乘法和除法来解决的问题，学生的思维要更加理性——要提出用乘法解决的问题，就不能在信息中涉及总数，而要把求总数放在问题里;要提出用除法解决的问题，就要先表明总数是多少，再平均分，由此可以进一步巩固除法和平均分模型。]