利用弹簧法精确测量砝码质量的实验探究

张 新 罗 婵 DARRACQ Bruno 刘 科 唐明君 李 玲 谢林华 周晓林

(1四川师范大学物理与电子工程学院, 四川 成都 610066；2巴黎第十一大学奥赛科技学院，法国 巴黎)

2018年11月在法国的凡尔赛召开了国际计量大会，大会对国际单位制中的千克、开尔文、摩尔和安培进行了重新定义[1]。千克的重新定义对科学发展具有重要意义，在此之前，千克是唯一以特定人工实物——国际千克原器定义的基本单位，然而千克原器的质量受各种因素的影响已经出现了细微的变化，难以满足现代测量要求对精密程度的需要。因此，本次国际计量大会决定修改千克的定义，由物理常数——普朗克常量重新定义千克。基于此背景，同年10月，小组成员在法国巴黎第十一大学(University of Paris-Sud)交换实习期间，在实习导师的指导下，我们完成了以“千克”为主题的项目式课题，通过方案设计实现了较为准确地用弹簧测量砝码的质量。

1 方案的确定及改进

我们对如何“用弹簧测量砝码质量”进行头脑风暴，根据已学知识并结合生活实践提出了以下两种想法：(1)模拟电子秤的工作原理：将弹簧放置在装载砝码的托盘之上，通过读取力传感器传输弹簧所承受的力，再计算得出测量砝码的质量。(2)弹簧振子原理：将砝码和弹簧相连做成弹簧振子，测量其做简谐运动的振动周期，可由周期公式求解出砝码的质量。

两种方案各有优点，小组成员讨论决定选取简单、方便、最具可行性且符合实际条件的方案(2)：以理想弹簧振子做简谐振动，通过周期公式(1)计算砝码质量：

(1)

式中，k为弹簧的劲度系数；M为悬挂物体的质量。显然，要得到悬挂物体的质量就需要先得到弹簧的劲度系数k和物体与轻质弹簧组成的弹簧振子的振动周期。方案的优化过程如下：

将轻质弹簧上端固定在铁架台上，下端挂上已知质量为Ma的砝码。测出弹簧拉伸的长度Δx，利用胡克定律

Mag=ΔF=kΔx

(2)

即可得到劲度系数k；然后悬挂上一个质量待测的砝码，将砝码下拉至适当位置(弹簧弹性限度范围内)后松手，让其做自由振动，待振动稳定后，测出弹簧振子的振动周期T，代入式(1)中即可求出待测砝码的质量。

然而实验过程中我们注意到，弹簧并不是理想的轻质弹簧，在测量较小质量的物体时弹簧质量显然不能完全忽略。为了保证实验结果的准确，我们继续进行方案的改进，在查阅简谐振动相关文献后[2,3]，我们将弹簧振子的周期公式修正为式(3)：

(3)

式中ms为弹簧的质量。此外，在前面所述方案中，在测量弹簧拉伸长度Δx时操作不便，且Δx的读数结果存在较大误差，由它所算得的弹簧劲度系数k不准确。于是，我们决定采用类比方法解决这一问题，即选择一个已知质量为M0(M0=50g)的砝码悬挂于弹簧下端，将砝码竖直下拉至适当位置后松手，让其振动，待振动稳定后，测出弹簧振子的振动周期T，为了减小实验结果的随机性，我们多次测量，求出该弹簧振子的平均周期T0，则

(4)

M0和T0作为一个标准，把一个质量未知的任意物体(其质量用Mx表示)悬挂在同一个弹簧上，重复之前的操作，多次测量弹簧振子的周期，并求出振动周期平均值Tx，可以得到

(5)

联立式(4)和式(5)，可以得到

(6)

上式M0、T0、ms可以看作已知量，并引入系数a、b替换，式(6)可化简为

(7)

根据上式，只需测出待测物体悬挂于弹簧时的振动周期Tx就能求出其质量Mx。此方案中使用的是同一弹簧，不再需要求解k，减小了实验误差。在弹簧的弹性限度内更换不同的物体，我们就能快捷方便准确地测量不同物体的质量。

2 实验的架构与实现

2.1 实验平台搭建

方案完善后，根据实验的需要，采用弹簧、铁架台、砝码盒、激光器、电路板、光电二极管、数据采集器[4](NI myDAQ)等主要器材搭建了实验平台，在采集和处理数据过程中，用到的器材和软件及其对应的功能和用途如表1所示。

表1 实验所需器材、软件及其对应功能

实验平台主要由3大模块构成，模型图和实物图分别如图1和图2所示。图1中a为数据处

图1 实验平台模型图

图2 实验平台实物图

理模块，主要包含电脑、LabVIEW软件、Fortran程序等数据处理硬件和软件；b为数据采集模块，主要包括数据采集器(NI myDAQ)以及包含光电二极管的电路板等；c为测试模块，包括弹簧、砝码和激光发射器等器材。

2.2 实验过程调试与效果分析

2.2.1 定标装置的标准砝码质量M0、振动周期T0、弹簧的质量ms的测量

在进行待测物体质量测量之前，根据式(6)，需要先测出我们定义的标准装置的特征参数。首先，利用质量比较仪对标准质量为M0(M0=50.000g)的砝码进行了校准，采用电子秤测量弹簧的质量ms(ms=3.566g)。其次，为了测量作为标准的弹簧振子的平均振动周期T0，我们设计了一个能测出弹簧振子振动周期的传感装置(如图2所示)，设计原理在于利用IN myDAQ器件探测光电二极管感受光强变化时两端电压的变化，并通过LabVIEW软件在电脑上显示出电压变化图，电压的变化周期正是该弹簧振子的振动周期。具体操作过程及改进措施如下：光电二极管电路的电源电压设置为3V；打开激光，照射光电二极管，选取砝码静止时的位置为平衡位置，调节弹簧与砝码的整体高度，使砝码的上平面刚好挡住激光；用手将砝码竖直下拉一定的距离，然后释放，砝码与弹簧组成的弹簧振子振动，电脑屏幕上显示出光电二极管两端电压随时间变化的图像，如图3(a)所示，待图像稳定后手动截取振动周期并读数。

图3 (a) 光电二极管两端电压随时间变化的图像； (b) 电压随时间变化的失真图像

实验过程中发现如下两个问题会导致图像失真(图3(b))：①砝码和弹簧整体横向摆动；②砝码上平面的挂钩和弹簧会遮挡激光。此外,手动截取一个周期时产生的误差也较大。为了解决以上问题，尽量减小误差，我们提出了如下解决方案：①在包装盒外选择参照点并做标记，保证砝码每次在竖直下方离平衡位置1cm处释放，且尽量避免砝码横向摆动；②为防止砝码挂钩及弹簧对激光的遮挡，选取砝码静止时其下平面位置为平衡位置参考点，使砝码下平面刚好挡住激光；③由原先的每次截取一个振动周期改为截取两个振动周期。实验改进以后，项目组在每次测量时读取两个周期，重复测量10次，舍弃数据中的最大值及最小值，然后求得标准砝码的振动周期平均值T0。方程(7)中的常数a、b就已确定。

2.2.2 测量待测物体的振动周期Tx

为了方便悬挂，同时为了验证方案的精确度，选取一组质量已知的砝码作为待测物体，并对所有砝码都提前进行了校准。方案如下：取下标准砝码，更换待测砝码，考虑到弹簧的弹性限度，我们选取了校准质量分别为9.997g、19.994g、29.993g、39.988g、49.984g、59.981g的6种砝码，依次测量并记录不同砝码的振动周期数据。

2.2.3 数据计算及分析

根据已测的振动周期Tx，采用Fortran软件编写的计算程序计算出待测物体的质量Mx，结果如表2所示。同时，进行误差分析和不确定度的计算。

从测试结果可看出，所有待测砝码的测量质量均处于展伸不确定度范围内，表明测量结果的置信概率较高。实验中引入的系统误差和随机误差[5,6]分析如下，其一，理论公式推导中的近似处理，比如方案中依据的式(3)和推导式(6)所做的近似；其二，仪器精度和环境影响所引入的系统误差，如在测量定标砝码的质量M0以及弹簧的质量ms时，仪器精度、空气阻力等因素的影响；其三，在操作过程中，尤其在测量T0和Tx时，手动释放弹簧以及人工截取振动周期等带来的随机误差。

3 结论与展望

本文以“用弹簧测量物体质量”为例进行了项目式学习探索，项目组设计了以振动周期为唯一测量值进行质量计算的简便可靠方案，并较好地测量出了待测物体的质量。在知识与技能方面，这种基于设计与实践的综合性学习模式体现了STEM的教学理念[7]，使参与者置于真实问题情境中，通过思维碰撞、动手实操，真正实现了科学、技术、工程和数学的融合，提升了发现问题、解决问题的能力和实践动手能力。在情感与价值观方面，参与者在解决问题的过程中对知识进行自主建构，在“做中学”的实验过程中初步意识到用工程的概念去解决实际问题，形成了一种工程意识，践行了“从物理走向生活”的理念，体会到了科学和技术是推进社会发展的重要力量。本文对未来教学过程中更多的项目式学习提供了启迪和借鉴的素材。

表2 待测砝码的周期和质量