磁单极狄拉克弦上磁场的显明形式

林琼桂

(中山大学物理学院，广东 广州 510275)

磁单极的存在(更严格地说是存在至少一种粒子其磁荷与电荷之比与其他粒子不同)导致的一个重要结论是电荷的量子化。仅这一点就足以令理论工作者着迷。磁单极从理论上提出[1]至今已经接近一个世纪，但一直未能在实验上观察到。尽管如此，由于理论上的魅力，它还是受到了持续而广泛的关注。

磁单极的磁场B类似于点电荷的电场，形式很简单。但是，为了将其纳入量子力学，人们必须找到一个矢量势A来描述它。另一方面，A的存在性是以方程·B=0为基础的。既然有了磁单极，后者便不再成立，于是A的存在性就有了疑问。如果一定要用A来描述，那么就难以避免A会具有某种奇性，狄拉克磁单极描述方案就是这样。或者，人们需要用两幅图(chart)构成的图册(atlas)来覆盖三维空间，然后在不同的图上采用不同的矢量势，在重叠区域，它们相差一个规范变换，这是吴大峻-杨振宁磁单极描述方案[2]。

具体来说，狄拉克的矢量势对应的磁场除了磁单极应有的平方反比场，还多了一条磁通弦(通俗地说就是一条磁力线)，称为狄拉克弦。它从磁单极所在之处沿任意曲线通向无穷远处，其磁通量抵消了磁单极平方反比场的磁通量，使得任一闭合曲面的磁通量仍然为零。只有当磁通弦没有物理效应(至少对于所考虑的问题)时，这样的矢量势才是对磁单极的恰当描述。讨论磁通弦是否有或对于哪些问题有物理效应，超出了作者的学识，也远远超出这篇小文的范围。前述关于磁通弦的性质在文献上一般只有文字描述，这些性质可以通过考察矢量势的环路积分而得出。但是对矢量势微分(取旋度)并不能自然得出与磁通弦对应的磁场项。当然人们可以利用前述性质手动构造并写下该磁场项，但是这难免有斧凿之嫌。本文将矢量势写成积分形式，然后通过微分运算自然得出包含磁通弦项显明形式的结果。上述矢量势的积分形式在文献上并不陌生[3，4]，文献[3]也作了微分运算，但是没有得出磁通弦项的显明形式。对于具有不同狄拉克弦的矢量势之间的规范变换，我们作了一些评述，并指出过去论证电荷量子化的一种方法存在漏洞。最后简单介绍了吴大峻-杨振宁磁单极描述方案，并简述该方案中电荷量子化的论证思路(吴-杨原文[2]对此论证并无详细说明)。希望本文对于电动力学的初学者有所帮助，对于教师也有一些参考价值。

1 狄拉克弦上磁场的显明形式

设磁单极的磁荷为g，位于坐标原点，狄拉克矢量势为

(1)

本文同时采用直角坐标和球坐标，在后面一个实例计算中也采用柱坐标，所用符号都是熟知的，eφ、ez等是单位矢量。对上式取旋度，只能得出磁单极磁场

(2)

而得不到实际存在的磁通弦项。实际上，A(r)在θ=π处有奇性，微分运算在这些地方是有疑问的，可能把某些东西弄丢了。这类似于在球坐标中计算2(1/r)，并不能直接得出δ函数。上式的一个显然的推广是

(3)

其中e是任意给定的单位矢量。对上式取旋度，得到的同样是Bg(r)。

现在我们把式(3)改写成下述积分形式

(4)

考虑沿e方向的直线从无穷远至原点的极细螺线管，有助于找到这个积分表示[3,4]。然而，在数学上，这不是必须的。我们只需要证明上式的积分结果是式(3)即可。为此，令u=-s，将上式化为

(5)

分解r+ue=[r-(r·e)e]+(u+r·e)e，两部分互相正交，由此易得

(r+ue)2=r2-(r·e)2+(u+r·e)2

(6)

于是

(7)

利用积分公式

b>0 (8)

完成上式的积分，结果就是式(3)。这就证明了式(4)是式(3)的积分表示。

式(4)可以改写为

(9)

(10)

B(r)=Bg(r)+B′(r)

(11)

其中

(12)

就是磁通弦项的显明形式。如果e=ez，则很容易求出积分，而得

B′(r)=ezgδ(x)δ(y)θ(-z)

(13)

其中θ(-z)是亥维赛(Heaviside)阶跃函数，这是沿z轴负半轴由原点伸展至无穷远的磁通弦，磁场沿z方向，磁通量为g。值得指出，如果我们先计算半径为a的半无界圆柱螺线管的磁场，然后令a→0(同时让I→∞以保持μ0πa2I=g固定，其中I是单位长度的电流)，得到的磁场正是上述结果，而磁通弦对应于螺线管内的磁场。详细讨论需要较多篇幅，从略。

下面进一步推广式(4)。考虑一条空间曲线L，它由定点r0伸展至无穷远，其参数方程为

r=r(s), -∞

(14a)

满足

r(-∞)=∞,r(0)=r0

(14b)

我们选取参数s使得ds=|dr(s)|，那么切矢量

(15)

是单位矢量，指向参数增加的方向。参数s类似于古典微分几何中的弧长参数，后者是一个内禀参数，并使得切矢量是单位矢量[5]，不同之处是我们的参数s是负的，这是因为我们要把r0当作曲线的终点而不是起点。今构造矢量势

(16)

相应的磁场是

(17)

注意到e(s)·[1/|r-r(s)|]=-(d/ds)[1/|r-r(s)|]，上式的计算与式(10)完全类似。最终得到

B(r)=Bg(r,r0)+B′(r)

(18)

其中

(19)

显然，Bg(r,r0)是位于r0处的磁单极产生的磁场，而B′(r)是沿曲线L的磁通弦。因此，矢量势(16)描述的是狄拉克弦为曲线L的磁单极。当r(s)=se，则L是沿e方向的直线，此时r0=0，e(s)=e，以上结果就退化为式(11-12)。

举一个实例。设L是圆柱螺线

(20)

则r0=exa，切矢量为

e(s)=-exωasinωs+eyωacosωs+ezωb

(21)

代入式(19)，即可写出B′(r)的形式。但是这个结果不太直观。如果采用柱坐标，则可将各分量写成

(22)

这样物理图像就非常清晰了。对于B′φ(r)，考虑ρz半平面且z<0，可以看到磁通弦多次穿过该半平面(注意φ和z的取值范围都是(-∞,0])，每次穿过的磁通量都是g。对于B′z(r)，考虑z给定且z<0的平面，可以看到磁通弦在ρ=a，φ=z/b处穿过该平面，磁通量也是g。

2 规范变换与电荷量子化

(23)

其中n′是S上r′处的法向单位矢量，dσ′是面积元，而

(24)

是S对r点张开的立体角。下面对这个结果作一些讨论。

对于式(23)中的第二项，当r在S附近时，我们可以以S上靠近r的某点为原点引入局部直角坐标系，完成切向坐标的积分可得该项结果为gδ(xn)n=[gε(xn)/2]，其中xn是局部直角坐标的法向分量，ε(xn)是符号函数。所以在S附近，我们可以局部地写出

(25)

当r越过S时，两项的跃变正好互相抵消了，因此整个规范变换函数Λ(r)本身并没有跃变。由此可见，上一段的论证确实存在失察之处。当然，这绝不意味着电荷量子化的结论不成立，因为可以有其他论证方法，比如吴大峻-杨振宁磁单极描述方案中的论证方法，后面会加以讨论。

(26)

其中e′是与e垂直的任一单位矢量。特别地，如果e=ez，取e′=ex，则得

(27)

(28)

利用积分公式(8)完成对z′的积分，然后对x′的积分也很容易计算，最后得出

-π<φ<π (29)

第二个等号很容易验证。代入式(23)(忽略第二项)，所得结果与式(27)一致，如所期望。不过，对于更一般的曲线，计算立体角的显式是相当困难的。

(30)

相应地，波函数满足

(31)

(32)