基于整体关联性的单元教学设计研究

张国治 赵佳睿

【摘 要】单元教学既是实现教学目标多元化、教学方式多样化、实施整合教学的有效策略，也是核心素养背景下的基本教学理念。整体关联性是单元教学设计的核心要素。研究者以一道课本习题为例，依据普遍联系的哲学原理，运用类比的方法，对“直线的法向量、点法式方程及其应用”的高考复习课进行单元教学设计，通过深度教学提升学生的核心素养。

【关键词】单元教学;深度教学;深度学习;联系的观点;教学反思

【作者简介】张国治，高级教师，新青年数学教师工作室成员，全国模范教师，主要从事数学教学研究;赵佳睿，中国人民大学信息学院数学与应用数学专业在读本科生。

【基金项目】新疆“十三五”规划2019年度课题“高考数学复习中微专题教学法的实践与研究”（XJKT-2020年086号）

在强调发展学科核心素养，倡导教师整体把握课程能力的背景下， 课时教学设计已经显得捉襟见肘，单元教学设计成为突破问题的关键。单元教学设计立足于教材，将教材中具有内在逻辑相关性的知识进行整理、拆分、组合，形成完整的教学单元，有序规划教学要素，提升教学效果[1]。高中数学单元教学是对数学知识结构的整体认识，能促进知识间的融会贯通。 因此，整体关联性是单元教学设计的核心要素。那么，如何在单元教学中体现整体关联性呢？笔者以人教A版高中数学必修2一道课本习题为例，依据普遍联系的哲学原理，运用类比的方法，对以“直线的法向量、点法式方程及其应用”为主题的高考复习课进行整体关联性的教学设计和教学反思。

一、教学设计

（一）教学引入

教师首先出示一道人教A版高中数学必修2第三章习题32 B组的习题，然后引导学生进行证明。

引例 设点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，求证这条直线的方程可以写成A（x-x0）+B（y-y0）=0。

（证明过程略）

（二）新知形成

引例证明过程比较简单，其潜在的价值很容易被大部分教师所忽略。正如波利亚说过，每道题都没有完美的解法，总会遗留一些工作要做，在充分的探讨总结后，总会有新的发现，改进这个解答，并且我们能在这个过程中深化对解答的理解。因此，在解题后，教师通过设置问题串引导学生对问题进行观察分析、总结类比，让学生能够思考题目背后的数学思想方法，从而产生新的领悟和判断，提升数学核心素养。

问题1：你如何给此方程命名？

该问题是建立在学生已有的知识经验（直线方程点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的基础上，为进一步发现直线方程还有另外一种更重要且非常有用的形式，为本节课整体关联性的单元教学设计做铺垫。教师从方程A（x-x0）+B（y-y0）=0结构出发，引导学生运用联系的观点联想到两向量的数量积的坐标表示，为启发学生思考，教师可以继续追问是哪两个向量？它们具有怎样的位置关系？从而得到该方程表示向量n=（A，B）与向量PM=（x-x0，y-y0）互相垂直，其中M（x，y）是直线Ax+By+C=0（以下简称直线l）上的动点。因为n⊥PM，故我们不妨称n=（A，B）为直线l的一个法向量。不难得到若直线l过定点P（x0，y0）有一个法向量为n=（A，B）（A2+B2≠0），则直线l的方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0，称为直线l的点法式方程。接着，教师再进一步引导学生观察直线方程的一般式Ax+By+C=0（A2+B2≠0）中，x，y前面的系数A，B的几何意义为直线l一个法向量n的坐标。通过以上问题的引导，让学生的思维得到不断发展，直线的法向量、点法式方程等概念也自然产生。

在教学中，教师要着重思考三个问题：怎么发生，怎么发展，怎么形成。一道数学题的成功解出并不是终点，而是还要进行有效的延伸和自我提问。教师需引导学生不断地探索问题背后的数学思想，让他们养成对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括的良好学习习惯，让他们能够衡量解法优劣，尝试结论推广，反思题目的命制意图。

（三）知识应用

向量是数形结合的良好载体，是联系代数和几何的桥梁。教师要善于运用这些联通关系，使学生认识到向量在整个数学知识体系中的重要作用。特别地，利用直线的法向量，往往可自然有效地解决如直线的位置关系、点到直线的距离、点关于直线的对称、圆的切线等问题。在教学中，教师可以通過设计以下问题引导学生进行知识应用。

问题2：利用直线点法式方程如何求直线的其他方程？

教师引导学生用直线的点法式方程推导出其他已学的直线方程，说明其具有普适性。

问题3：利用直线法向量如何判定直线的位置关系？

要判定两直线的位置关系，常见的解题策略是利用直线的斜率进行判定，但无法避免繁杂的讨论。 教师设计问题3，利用直线法向量判定直线的位置关系，不仅解题过程简洁明了，而且还可以将此方法类比迁移到后续立体几何中平面与平面位置关系的判定，凸显数学知识的内在联系。

问题4：利用直线法向量如何求点到直线的距离？

教师首先让学生思考如何求点到直线的距离。在教学中，笔者发现学生一般的解题方法是过该点作直线的垂线，写出垂线方程后与直线方程联立，再求解方程组得到垂足的坐标，最后利用两点间距离公式求垂线段的长度，即为所求点到直线的距离。这种解法较为直观，但是运算烦琐，并且还要分类讨论直线方程的系数A，B是否为零。课本为了避免烦琐的计算，先构造直角三角形，再利用等面积法间接求出点到直线的距离，但仍不可避免地需要对A，B是否为零进行讨论。

若利用直线的法向量，解法更简洁明了。如图1，设点P（x0，y0），n=（A，B）是直线l的一个法向量，则PQ//n，即PQ=λn，故d=PQ=λn=λn。设M（x1，y1）是直线l上的任意一点，则n⊥MQ，即0=n·MQ=n·（MP+PQ）=n·MP+λn2，得λ=-n·MPn2，故d=λn=n·MPn。而n·MP=（A，B）·（x0-x1，y0-y1）=A（x0-x1）+B（y0-y1）=Ax0+By0-Ax1-By1，又点M在直线l上，故Ax1+By1+C=0，即-Ax1-By1=C，因为n·MP=Ax0+By0+C，所以d=Ax0+By0+CA2+B2。

求点到直线的距离是学生的解题难点，教师引导学生利用法向量和沙尔定理巧妙走出误区，得到λ=-n·MPn2，使点到直线的距离水到渠成地求解出来。为进一步启发学生的迁移思维，教师将问题4进行推广。

推广：空间点P到平面α的距离d=n·MPn，其中n是平面α的一个法向量，M是平面α内的任意一点。

由此可见，利用法向量使得点到直线的距离问题得到有效解决。事实上，我们也可以利用法向量解决对称问题。

问题5：利用直线法向量如何求点关于直线的对称点？

在教学中，笔者发现学生求点P（x0，y0）关于直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的对称点P′的问题，常见的思路是利用l是线段PP′的垂直平分线，构造关于点P′坐标的方程组获解。但是这个方法不易推广，且运算量大，容易出错。教师引导学生探究问题5的解法，利用直线的法向量，得到P′x0-2A（Ax0+By0+C）A2+B2，y0-2B（Ax0+By0+C）A2+B2。[2]

以此类比推理，可得到曲线C：f（x，y）=0关于直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）对称的曲线为C′：fx-2A（Ax+By+C）A2+B2，y-2B（Ax+By+C）A2+B2=0。

点关于直线对称问题是教学的重点和难点，一般利用垂直和平分构造方程解题，但缺点是不易推广。若整体把握，利用法向量可便捷地解决对称问题。以上教学设计既体现回归课本的作用，也凸显了单元教学的整体性，以法向量将距离和对称问题一线串通，达到深度学习的效果。

由于圆的圆心和切点连线与该切点处的切线互相垂直，因此教师在教学中要善于引导学生联想到用法向量求圆的切线，进而解决一般二次曲线的切线问题，问题设置如下。

问题6：如何求圆的切线方程？

在该题的求解中，学生联想到垂直关系，利用直线的点法式方程容易得到圆O：x2+y2=r2（r>0）上点P（x0，y0）处的切线l的方程是x0x+y0y=r2。如图2，依题意，得OP⊥l，故OP=（x0，y0）是切线l的一个法向量，学生可由直线点法式得到l：x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=x02+y02。又因为点P（x0，y0）在圆O上，即x02+y02=r2，所以l：x0x+y0y=r2。

接着，教师继续向学生追问圆的标准方程、一般方程结论，通过深入探究，得到下列结论。

1圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）上点P（x0，y0）处的切线方程l：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。

2圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）上点P（x0，y0）处的切线方程l：x0x+y0y+Dx+x02+Ey+y02+F=0。

通过以上分析，教师还可以引导学生得到更一般的结论。

对于二次曲线C：f（x，y）=0上点P（x0，y0）处的切线方程的替换规律是x2→x0x，y2→y0y，x→x+x02，y→y+y02，xy→y0x+x0y2。

（四）问题深化

生活中處处有类比，数学也不例外，类比在数学发现和解题方面有着举足轻重的作用[3]。深度教学、深度学习、单元教学倡导知识的结构化、系统化，故整体设计是提高课堂教学效益的重要途径。教师可以将平面向量类比迁移到空间立体几何，例如将直线的法向量、直线的点法式方程等概念类比推广到空间平面，问题设置如下。

问题7：如何求平面的方程？

问题8：如何判断两平面的位置关系？

问题9：如何求点到平面的距离？

问题10：如何求点关于平面的对称点？[4]

问题11：如何求球的切面方程？

教师通过设置以上问题串，让学生类比得出平面的法向量、平面的点法式方程等概念和知识，并引导学生运用类比方法将法向量的应用由平面向空间推广。这样的教学将中学的立体几何与高等数学的空间解析几何无缝对接，让课堂既有深度也有广度。

（五）应用举例

解题即建立联系，而丰富有条理的知识储备是解题的关键。教师可结合课本例题和高考试题对本主题知识的综合应用进行深化和拓展。

例1 （人教A版高中数学必修2第四章42 例2） 已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线l的方程 。

课本中没有讨论过点M的直线的斜率是否存在，而是直接设直线l的方程为y+3=k（x+3），并注明“适当地利用图形的几何性质，有助于简化计算。”这易给学生一种错觉：画图后可判定斜率必存在而不用讨论斜率存在性。倘若将所截得的弦长改为8，按课本解法就会出现漏解的情形，因为直线点斜式方程的前提是斜率必须存在。但若设点法式方程，上述问题便可迎刃而解。

例2（2007年高考重庆卷文科数学） 已知以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（  ）

A32  B26  C27  D42

该题常规的解法是用待定系数法求解。设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1，与直线x+3y+4=0联立解方程，依判别式Δ=0可获解，但这样算运算量较大，学生容易出现计算错误。若利用本文法向量的“换”的思路求椭圆的切线方程，或利用椭圆的光学性质，便有如下简单的解题思路。

思路1：设椭圆与直线的交点为P（x0，y0），椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1，则椭圆在点P（x0，y0）处的切线方程为xx0a2+yy0a2-4=1。与直线-x4+-3y4=1比较，得x0=-a24，y0=-3（a2-4）4，代入直线x+3y+4=0，得2a=27，故答案选C。

思路2：设椭圆与直线的交点为P，F1关于直线x+3y+4=0对称的点为Q，则由椭圆光学性质可知F2，P，Q三点共线，易得F1（-2，0）关于直线x+3y+4=0的对称点Q（-3，-3），故椭圆的长轴长2a=QF2=（2+3）2+（0-3）2=27。答案选C。

例3（2018年高考全国Ⅱ卷文科数学） 如图3，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。

（1）证明：PO⊥平面ABC;

（2）点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离。

本题考查了线面垂直的判定和点到平面的距离。第（1）问可通过线面垂直的判定定理进行证明。第（2）问可建立空间直角坐标系，引导学生类比点到直线的距离得到平面的方程及点到平面的距离，从而轻松获解。

以上三道例题从课本例题到高考题、从平面到空间、从静态到动态的视角，凸显了单元教学设计的整体性、生本性。在设计例题时，教师不要只局限于直线与圆的固有单元，而要对具有某种内在关联性的内容进行分析、重组、整合并逐步形成“大单元”。由课本一道习题延伸出的法向量的概念、直线的点法式方程、二次曲线的切线方程、统一的距离公式等，使得二维平面和三维立体中多种繁杂的问题迎刃而解。 同时，教师通过挖掘一道课本例题的潜在价值，创新法向量的概念，更新了解题工具，以法向量一线串珠，为概念学习提供了较好的教学案例。

二、教学反思

本课的教学设计以法向量为主线索，从法向量的本质出发，从知识间的逻辑关系梳理主题的脉络，对今后的单元教学具有重要的启示。

（一）单元教学要以课本为本

高考备考，回归课本是明智之举，也是行之有效的基本策略[5]。章建跃博士说：“脱离课本的教学不是好的教学。课本、课本一科之本，好的数学教学应以课本为主”。本文从一道课本习题出发，追本溯源，整体把握，凸显了法向量的魅力。 教育家奥加涅相曾说：“必须重视很多习题潜藏着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性。”课本上一些看似平淡无奇的例（习）题，却蕴含着丰富的数学思想方法和潜在价值。单元教学通过对数学思想方法的总结，将数学知识有机结合，加深教师对教材的理解和掌握，从而使教师能够充分、创新地运用教材。

（二）单元教学注重主题式教学设计和实施

新课程强调把握数学本质，注重单元教学。在教学中，教师要从一节一节的课中跳出来，进行主题式教学（深度学习）设计和实施。 教学的重难点不是局限于对某一知识的讲授，而是对主题内容的整体把控和规划。这种规划不仅使每个阶段的教学目标更明晰，也使学生體会到数学知识之间的联系，思想方法的一脉相承，从而完成情感的有效渗透。就如张奠宙先生所说的，数学教学设计的核心是如何体现数学的本质，呈现数学特有的教育形态，使学生体会数学的诸多价值和魅力。数学主题教学设计从宏观角度出发，从整体上对数学教学中的各种要素进行综合考量，使教学效果最优化。

（三）单元设计应落实在深度教学中

深度教学应对学生的思维方法进行分析指导，从而提升学生数学知识和技能的教学效果。在教学中，教师应将具体的解题方法上升到一般的思维策略，培养学生的思维品质，使他们真正成为学习的主人。此外，深度教学还有四个重要的环节：①联系;②问题引领;③交流和互动;④学会学习。[6]本教学设计基于问题引领，运用联系的观点，以问题串层层递进，始终贯穿整个课堂始末，重视核心问题的提炼与再加工。对于学生不同的解题思路和方法，教师要善于比较与优化，做好整体设计的开放性与细节处理的精致化，通过深度教学不断提升学生的核心素养。

主题单元教学既是实现教学目标多元化、教学方式多样化，以及实施整合教学的有效策略，也是核心素养背景下的基本教学理念。在教学中，教师要整体把握数学教学内容，有意识地培养单元意识和单元备课的习惯，自觉地把教学内容放到单元中去全盘思考，在不断修正中自我提升[7]。

参考文献：

[1]吕世虎，吴振英，杨婷，等.单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用[J].数学教育学报，2016（5）：16-21.

[2]张国治.点关于直线对称点的简捷求法[J].数学教学，2012（10）：25-27.

[3]刘云章，赵雄辉.数学解题思维策略：波利亚著作选讲[M].长沙：湖南教育出版社，1992.

[4]张国治.平面曲线的中心对称与轴对称问题[J].数学教学，2013（2）：31-32.

[5]张国治，程似锦，于雯青，等.探源溯流：走进数学“寻根”之旅[J].数学教学，2017（2）：13-17.

[6]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019（5）：24-31.

[7]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.

（责任编辑：陆顺演）