HPM视角下的“排列”教学

方倩 汪晓勤

【摘 要】排列组合的内容对学生的逻辑推理能力、数学抽象能力、分析问题和解决问题的能力有较高的要求。基于学生的学习情况，教师结合数学史加深学生对排列概念的理解，寻求历史上合适的排列数公式的推导方法，进一步理解排列数公式，让学生在课堂上经历排列知识的演进历程，培养学生的数学思维能力。

【关键词】HPM;排列组合;探究之乐;方法之美;德育之效;文化之魅

【作者简介】方倩，华东师范大学第一附属中学教师，主要从事数学史与数学教育研究;汪晓勤（本文通讯作者），教授，博士生导师，华东师范大学教师教育学院副院长，主要从事数学史与数学教育研究。

【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）

一、引言

“排列”是沪教版高三数学第16章的内容，教科书首先用生活中具体的例子引入，利用树状图计算结果，接着运用乘法原理解释结果并推导排列数公式。对教师和学生的调查研究发现，学生学习排列组合主要存在以下问题：（1）对排列概念理解不透彻;（2）机械套用教材中的排列组合公式;（3）排列组合公式的使用和计算易出错;（4）很多学生通过记忆解题，缺乏思考;（5）对同一问题的不同解法掌握得较差。[1]

笔者在资料搜集的过程中发现，“排列”的新课教学设计屈指可数，教师一般都按照书本内容展开教学，运用乘法原理对排列数公式作出证明。排列组合内容的学习对学生的逻辑推理能力、数学抽象能力、分析问题和解决问题的能力有较高的要求。基于学生的学习情况，笔者运用数学史来帮助学生加深对排列概念的理解，同时寻求历

史上合适的排列数公式的推导方法，让学生进一步理解排列数公式，培养学生的数学思维能力。由此，笔者拟订了本节课的教学目标：（1）理解排列、排列数的概念;（2）掌握排列数公式的证明方法，领会其背后的数学思想，感受数学的方法之美;（3）了解排列知识在历史上的演进过程，培养动态的数学观，感悟数学文化的多元性。

二、数学史料的运用

（一）排列公式的出现

历史上很早就出现了排列和组合问题。公元前7世纪，中国《易经》的六十四卦图即是阴爻“- -”和阳爻“—”的重复排列，共26种卦象[2]。公元前3世纪，古希腊哲学家克里西普认为10个公理的排列数超过1000000种;而公元前2世纪，古希腊天文学家希帕恰斯给出了错误的排列数101049或310925[3]。

在犹太古典文献《创造之书》中，作者给出了22个希伯来字母的全排列。公元8世纪，印度一位词典编纂者艾哈默德对阿拉伯语中的单词进行分类，他计算了从28个阿拉伯字母中取2，3，4或5个字母组成的单词的个数。12世纪，印度数学家婆什迦罗在其著作《莉拉沃蒂》中给出一次从n件物品中取r件的（可重复或不重复）排列数的算法。13世纪初，艾哈默德·伊本·穆恩伊姆在处理排列问题时得出这样的结论：不管一个单词有多长，它的字母的排列数是1×2×3×4×5等，直至该词的字母数[4]。

公元10世纪，多诺罗在注释《创造之书》时证明了n个字母的全排列数。13世纪末，阿拉伯数学家伊本·阿尔巴拿给出并证明了全排列数及排列数公式Prn。[3]81-85

（二）排列公式的证明

1热尔松的证明

在14世纪，法国数学家本·热尔松在其代表作《数之书》中证明了n个元素的全排列数n！，作者首先证明了以下命题。[3]210-215

命题1：如果n个不同元素的排列数为某个固定的数，那么n+1个不同元素的排列数为该数与n+1的乘积。

设n个元素为a，b，c，d，…，e，它们的排列数为t。在n个元素的每一种排列前插入第n+1个元素f，可得t个不同的排列;以f代替e，则a，b，c，d，…，f的排列数为t。在每一个排列前插入e，得到t个不同的排列。类似地，将每一个元素放在第一个位置，都得到t个不同的排列。因此，a，b，c，d，…，e，f的排列数为（n+1）t。本·热尔松由此命题证得n个元素的全排列数。

类似地，本·热尔松又证明了以下命题。

命题2：n个不同元素中一次取2个的排列数为n与n-1的乘积。

命题3：如果n个不同元素中一次取r（r

本·热尔松在证明了上述3个命题之后，通过命题2和命题3推出排列数公式Pmn=（n-m+1）（n-m+2）…n。

2早期教科书中的证明方法

1881年，美国数学家温特沃斯在其所著的《代数学基础》中对排列数公式作了证明，所用方法与现行教科书的方法一致，即通过分步乘法计数原理进行证明[5]。1897年，英国数学家鲍尔在其著作《初等代数》中则采用了本·热尔松的证明方法[6]。

1899年，美国数学家费歇尔等在《代数学基础》中给出了如下证明：将从n个物体中取r个的排列数记为Prn，观察树状图，利用枚举法可得P14=4，P24=12，P34=24，P44=24，已知P1n=n，对于n个物体，一次性选2个物体的排列数等于一次性选1个物体的排列数乘以剩下的数，即P2n=（n-1）P1n=n（n-1）;一次性选3个物体的排列数等于一次性选2个物体的排列数乘以剩下的數，即P3n=（n-2）P2n=n（n-1）（n-2）;同理，可推出Prn=n（n-1）（n-2）…（n-r+1）。[7]

三、教学设计与实施

笔者用重构式对本节课进行教学设计。首先，通过公理排列数的例子引入排列的概念（复制式），将艾哈默德对阿拉伯语中的单词分类问题改编为简单的字母问题（顺应式），加深学生对排列概念的理解。其次，利用三种证明方法推导出排列数公式（复制式）。最后，介绍排列知识的发展过程（附加式）。

（一）课题引入

师：在数学上，我们常常会遇到不同数学定理的顺序安排问题。比如，我们在初中时学过全等三角形的三个判定定理——SAS、ASA和SSS。从理论上说，我们可以先学SAS，再学ASA，最后学SSS;也可以先学SSS，再学ASA，最后学SAS，等等。那么一共有几种这样不同的安排方式呢？其实，古希腊人很早就遇到了类似的问题。公元前3世纪，哲学家克里西普认为，10个公理如果依次排序，就会有超过1000000种不同的排法;公元前2世纪，古希腊天文学家希帕恰斯试图算出准确的结果，他认为，总共应该有101049种或310925种排法。请问你们觉得会有多少种呢？

（学生小声议论。）

师：在解决这个问题之前，我们先来探究下面的问题。

（二）概念生成

师：公元8世纪，印度一位词典编纂者艾哈默德对阿拉伯语中的单词进行分类，他计算了从28个阿拉伯字母中取2，3，4或5个字母组成单词的个数。现在我们用英文字母来代替阿拉伯字母，英文字母a，b可构成多少种二元单词？

生：2种，即ab和ba。

师（追问）：英文字母a，b，c可构成多少种二元单词？

生：6种，ab，ac，ba，bc，ca，cb。

（有极少数学生说3种。）

师：我听到有同学说3×2种，这是怎么算出来的呢？

生：第一个位置有3个，第二个位置有2个。

师：很好。你已经找到了比列举法更简便的方法，那么请大家思考，英文字母a，b，c，d可以构成多少種三元单词？

（学生列举了其中的某些例子。）

师：我们一起来列举一下，首先，首字母是a，那么第二位有3种选择b，c，d，如若第二位是b，那么第三位只能选c或d，因此有2种情形;同理，第二位是c或d，分别有2种选择。因此，首字母为a的三元单词共有3×2=6种。同理，首字母为b，c或d的三元单词有6种，因此三元单词共有4×6=24种。

（教师板书，画出如图1所示的树状图。）

师：之前我们学习集合的时候，也会将集合的元素列举出来，这和集合元素有什么区别呢？

生：这个有顺序，集合的元素没有顺序。

师：上面组成的二元和三元单词，在数学上我们把它叫做一个排列。排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个的一个排列。结合上述例子，可以发现排列有什么特征？

生：元素不重复。

师：排列的特征是元素不重复且按照一定的顺序排列，也就是说排列的问题与位置相关。那么如果两个排列相同，可以得到这两个排列有什么关系？

生：元素一样，顺序也一样。

师：现在请同学们来说说生活中有关排列的例子有哪些呢？

生：学号、座位。

师：可见排列问题在我们生活中经常遇到，同学们刚才举了很多种排列的例子，比如学号等。那学号总共有多少种排列的方法呢？这个排列的方法种数我们称为排列数。排列数是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pmn表示，P是排列数的符号，是排列英文单词Permutation的首字母，n是指元素的总数，m是指取出的元素个数。

师：下面用排列数的符号表示上述问题。

生：第1题是P22。

师：元素的总数是2，取出的元素个数也是2，因此为P22。第2题呢？

生：第2题是P23，元素的总数是3，取出的元素个数是2。

师：同理，第3题就是P34，那么排列数的具体值又该如何计算呢？

生：第一个有4种，第二个有3种，第三个有2种，所以4×3×2=24种。

（三）证明方法探究

师：刚刚我们用树状图将其列举求出，但是当数值很大的时候，计算量就会很大。除此之外，我们可以从另一个角度理解第3题的三元单词由3个元素组成，第一个位置可以从4个字母中任选1个，第二个位置可以从剩下的3个字母中任选1个，最后一个位置只能从剩下的2个字母中选择，我们将其分成3步完成，运用乘法计数原理可得P34=4×3×2=24。

1乘法计数原理法

师：分步乘法原理是指如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法。那么，请问从a1，a2，a3，…，an中取出m个的排列数是多少？

生：是Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

师：那你给大家解释一下这个公式是怎么得来的。

生：总共有m个位置，先画m个方格，第一个方格有n种选择，第二个方格有n-1种选择，一直到最后有n-m+1种选择，将所有的选择法相乘得到Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

师：为什么最后一个方格是n-m+1种？

生：从第一个到最后一个找规律可以得到。

师：我们用分步乘法原理计算，总共可分为m个步骤，然后将它们相乘即可。我们也可将Pmn写成阶乘的形式，即Pmn=n！（n-m）！，一个正整数的阶乘是指所有小于及等于该数的正整数的积，自然数n的阶乘写作n！。规定0！=1。

（教师板书推导排列数公式。）

师：观察排列数的公式，大家发现m与n之间有什么大小关系呢？

生：n大于m，因为我们是从n个中选出m个。

师：那可以等于吗？

生：可以。

师：因此n大于或等于m，且为正整数。当m=n时，Pmn=Pnn，此时，n-m+1=1，则Pnn=n（n-1）×（n-2）…×3×2×1=n！，这种排列我们就称为全排列，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。

2热尔松证明法

师：刚刚同学们用分步乘法计数原理的方法证明了排列数公式，这也是教科书中的证明方法。现在我们一起来看看历史上还有哪些证明方法。早在14世纪，法国数学家本·热尔松在其代表作《数之书》中也证明了n个元素的全排列数n！。为了证明排列数公式，他分别用了3个命题来说明。

本·热尔松首先证明第一个命题：如果n个不同元素的排列数为某个固定的数，那么n+1个不同元素的排列数为该数与n+1的乘积。我们用现代的数学语言表述为：n个不同元素的排列数，即Pnn;n+1个不同元素的排列数，即Pn+1n+1，原命题就等价于证明Pn+1n+1=（n+1）Pnn，请同学自己动手证明一下。

生：画n+1个小方框，第n+1个元素可以放在n+1个小方框中的任何一个当中，剩下的n个元素有Pnn种排法，所以是（n+1）Pnn。

师：这位同学求n+1个元素的全排列是分2步完成的。第一步，先将第n+1个元素在n+1个位置中挑选一个排好，第二步，剩下的n个元素全排列，运用分步乘法原理可证明上述公式。

师：数学家本·热尔松是这么证明的。设n个元素为a，b，c，d，…，它们的排列数为t。在n个元素的每一种排列前插入第n+1个元素f，可得t种新的排列f，a，b，c，d，…;如果说最开始n个元素是f，b，c，d，…，插入第n+1个元素a，也可得n种新的排列a，f，b，c，d，…，即交换f与a的位置，同理，f可与b，c，d，…交换，因此n+1个元素的排列数为（n+1）t。即全排列的公式得以证明。显然，同學们的证明方法比数学家本·热尔松的证明方法更简洁。

师：通过上述推理，是否有同学可以证明全排列公式呢？

生：用累乘法证明，Pn+1n+1=（n+1）Pnn，则Pnn=nPn-1n-1，…，P22=2P11=2×1，将所有等式两边的左边相乘等于等式右边相乘，约掉相同的项就可以得到全排列数公式。

师：很好。累乘法在这里也可以直接运用等式的迭代，Pnn=nPn-1n-1，则Pn-1n-1=（n-1）Pn-2n-2，即Pnn=n（n-1）Pn-2n-2，以此类推，若一直迭代下去，就会得到全排列数公式。

师：类似地，数学家本·热尔松又证明了以下两个命题：n个不同元素中一次取2个的排列数为n与n-1的乘积;如果n个不同元素中一次取r（r

师：这个公式的推导同学们可以在课后探讨研究。那么根据递推公式Pr+1n=（n-r）Prn，类似于上面我们证明全排列公式的步骤，我们运用迭代法或者累乘法可推导得出排列数的公式Pmn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）。

3归纳法

师：国内教科书大多是运用分步乘法原理，那么在19世纪中叶到20世纪初的西方早期教科书中，主要流行3种证明方法：一是乘法计数原理法，二是热尔松证明法，三是归纳法。

师：从n个物体中取r个的排列数我们记为Prn，已知n个元素取一个，有n种选择，即P1n=n;对于n个物体，一次性选2个的排列数等于一次性选1个的排列数乘以剩下的数，即P2n=（n-1）P1n=n（n-1）;一次性选3个的排列数等于一次性选2个的排列数乘以剩下的数，即P3n=（n-2）P2n=n（n-1）（n-2）;同理，可推出Prn=n（n-1）（n-2）…（n-r+1），以此类推，可得到排列数公式。

生：感觉最后一种方法的证明思路和热尔松证明法差不多。

师：是的，两种方法都运用了迭代法（累乘法），区别在于热尔松递推关系的推导主要是等价转化的思想，而早期教科书主要是归纳的思想，现行教科书是有顺序地运用分步乘法进行计算。

师：学完排列数公式后，我们一起来看看公理的排列数究竟是多少种呢？

生：P1010=10×9×…3×2×1=3628800种。

（四）知识巩固

教师在PPT中依次出示与排列相关的3道例题。

例1 计算：P410。

例2 求证：Pmn+mPm-1n=Pmn+1。

例3 全班35名同学两两互发一条微信，共发了多少条微信？

例1求解具体数字的排列数，强调运用分步计数原理来计算排列数的方法;例2通过证明等式成立，让学生加强对排列数公式的运用能力;例3帮助学生深刻理解排列的概念，解决简单的实际问题。

（五）课堂小结

教师介绍排列内容的历史演进历程，由学生自由发言，引导学生回顾本节课的主要内容，并做总结：（1）知识层面：理解排列的概念，掌握排列数公式的3种证明方法;（2）思想层面：感悟从特殊到一般和归纳递推的数学思想方法;（3）情感层面：学生想出与古人类似的证明排列数的方法，且更方便快捷，激发学生学习数学的热情。

四、学生反馈

课后，笔者对两个班级79名学生做了问卷调查，并和部分学生进行了访谈。

（一）问卷调查结果

问卷调查结果显示，学生对数学史融入数学教学的接受程度较高，甚至有一部分学生是非常喜欢的。为了进一步了解学生对排列知识的掌握程度，笔者在调查问卷中设计了3道填空题和1道简答题。

1写出从a，b，c，d，e 5个元素中任意取2个元素的所有排列为      。

210名同学排成一排照相，总共有   种不同的排列方式。

3有5本不同的书，要分别包上包书纸，现有花色不同的包书纸6张，每张包书纸只能包一本书，共有   种不同的包法。

4请你写出排列数的公式以及推导过程。

上述4道题的正确率分别为962，937，924和823。其中第1题有3名学生将排列写成了组合;第2题有5名学生未能给出正确的答案，1位空白，1位写了“不会做”，3位给出了排列数公式正确，但结果错误;第3题有2名学生列出了排列数的公式，但未给出计算结果，有3名学生排列数正确，但是排列数公式用错，还有2名学生计算错误;第4题所有的学生都作答了此题，其中有12名学生未给出推导过程，2名学生推导过程错误。可以看出绝大多数的学生掌握了排列数公式及其推导。另外，值得惊喜的是，有2名学生运用了热尔松证明法证明。

对于问题“提及‘排列你会想到什么？”，学生主要有下列回答：（1）有关的数学史，如数学家名字等;（2）排列知识，如全排列、树状图等;（3）数学方法，如枚举法、归纳法等;（4）与其他学科领域的联系，如生物遗传、同分异构体等。

对于问题“这节课中你印象最深的是什么？”，学生主要有下列回答：（1）公式的推导，学生认为学习不同的推导方法，创新了他们的解题思路;（2）与数学史相关内容，特别是排列内容的历史演进历程让学生印象深刻;（3）课堂内容，如排列数公式等;（4）其他，如教学方式、授课形式等。

（二）学生访谈结果

从学生访谈中，笔者发现与上述调查问卷的情况基本吻合，学生对数学史融入数学教学持有积极的态度。在高考的背景下，学生希望能在掌握课堂知识的情况下，了解数学史让课堂不再枯燥，激发学习兴趣。另外，学生喜欢能使数学知识变得简单易懂的史料，如一些巧妙的解题思路与方法。

五、结语

借鉴数学史可以更深切地体验历史上数学家的智慧，从史料中获得灵感，并融入教学设计中开发新的课例。从问卷调查结果来看，本节课基本完成了教学目标，大部分学生掌握了排列数公式的推导方法，对数学史融入课堂教学表示认可，对于排列数的3种证明方法表现出了强烈的兴趣。排列数公式的3种证明方法：一是运用教科书中的乘法计数原理，在分步的过程中加强学生对排列有序性的理解;二是热尔松证明法，运用递推、等价转化的思想先对全排列公式进行详细的证明，再通过类比得到排列数公式;三是早期教科书中的归纳法，与热尔松证明法思路类似，通过两种方法的对比，引导学生正确地理解运算对象，合理地选择运算方法，有助于培养学生的数学抽象与逻辑推理能力。

本节课引入运用公理排列数的例子，以及学生对改编的字母编排问题的积极讨论，让学生感受数学的探究之乐。教师对排列数公式的推导方法层层递进式地讲解，让证明的过程更清晰，培养学生的数学思维能力，展现数学的方法之美，也让学生了解到数学公式的證明在不同时期是不同的，培养学生勇于探索的精神，体现德育之效的价值。最后，课堂上呈现的排列概念的历史演进过程，让学生感受知识的源与流，看到不同时期的数学家在排列数公式上的贡献，从而感受数学的文化之魅。

参考文献：

[1]胡海霞，汪晓勤.影响高中生组合推理的因素[J].数学教育学报，2009（6）：26-29.

[2]KATZ V J.Using history to teach mathematics：an international perspective[M].Washington：The Mathematical Association of America，2000.

[3]汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002.

[4]卡兹.数学史通论[M].李文林，邹建成，胥鸣伟，等译.北京：高等教育出版社，2004.

[5]WENTWORTH G A.Elements of algebra[M].Boston：Ginn & Heath，1881.

[6]BALL W W R.Elementary algebra[M].Cambridge：The University Press，1897.

[7]FISHER G E，SCHWATT I J.Elements of algebra[M].New York：Macmillan，1899.

（责任编辑：陆顺演）