例谈图表法在不等式组应用题的运用

黄英俊 翟翠莉

中图分类号：G633.6           文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）10-069-1

在解决不等式组的实际应用问题时，学生对题目中隐含不等关系的问题却不知所措，很难找到突破口，分析其难点有二，一是无法理解题目中的关键语句，不知是利用方程还是不等式来解决;二是不能够准确分析量与量之间的内在关系. 基于此，教学中，给予学生充分讨论，教师引导点拨，利用图表的直观性、清晰性，能够帮助学生发展数学学习的思维力.下面举例进行说明：

题1：某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备奖励给他们，如果每人奖4本，则剩余8本;如果每人奖5本，则最后一人得到了课外读物但不足3本.求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.

讨论：（1）所买课外读物的本数与获奖人数之间有什么关系？【设该校的獲奖人数为x人，则课外读物总数为4x+8.】

（2）怎样理解最后一人得到了课外读物但不足3本？【这就是说最后一人得到的书本数大于0且小于3，这样就可以转化为不等式组的问题.】

（3）如何用x表示最后一人得到的书本数？为了更直观分析此问题，我们采用图示法：

笔记本总数（4x+8）

解答：设该校的获奖人数为x人，由题意得，

0<4x+8-5（x-1）<3，解得10

∵x取正整数，∴x=11或x=12;

当x=11时，4x+8=52;

当x=12时，4x+8=56.

答：该校有11人获奖，买笔记本是52本;

或该校有12人获奖，买笔记本是56本.

题2：运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）.

A.x≥11  B.11≤x<23

C.11

讨论：（1）如何理解操作三次才停止？【仔细分析可知，输入x后，第一次不停止，知其结果小于等于95;再输入第二次也不停止，得结果也是小于等于95;到了第三次停止了，说明此时结果大于95，这样问题转化为不等式组问题.】

（2）如何列出不等式组？，为了使数据之间更加清楚，我们采用列表法进行：

输入输出

第1次x2x+1

第2次2x+12（2x+1）+1=4x+3

第3次4x+32（4x+3）+1=8x+7

解答：由题意，得：

解得：11

则x的取值范围是11

题3：某市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件.已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克;生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（ ）.

A.4    B.5    C.6    D.7

讨论：（1）条件“现有A种原料52千克，B种原料64千克”表达了什么含义？【生产甲的A种原料+生产乙的A种原料≤52，生产甲的B种原料+生产乙的B种原料≤64，问题就可以转化为不等式组问题.】

（2）如何列出不等式组？考虑到所涉及的量较多，我们可采用列表法分析：

A种原料B种原料

甲x件3x2x

乙（20- x）件2（20- x）4（20- x）

原料的和3x+2（20- x）2x+4（20- x）

解答：设生产甲产品x件，则乙产品（20-x）件，由题意得：

解得：8≤x≤12，

∵x为正整数，

∴x =8，9，10，11，12.

∴共有5种生产方案，故选B.

教学启示

1.理解学生是提高课堂教学有效性的基本要素之一.对于不等式组的应用题，发现学生对不等关系较明显的问题能较容易地列不等式组求解，也初步掌握解题的基本步骤“两步法”（找不等关系、列不等式组）.但是，学生对题目中隐含不等关系的问题有的束手无策，也有的错漏百出. 教师密切关注了学生的实际情况，精准分析了学生的思维障碍，精心设置了针对性的问题训练，设计了“不足问题”、“程序问题”、“制作产品”等三类典型问题，这样，紧扣住准确的学情，有效地把握教学预设与生成的平衡.

2.展现解题思维的过程是提高学生解题能力的核心途径.美国著名数学家、教育家波利亚指出：“掌握数学意味着社么？那就是善于解题”.在千变万化的问题中，学生要能够主动思考分析问题，直至顺利地解题.教学中教师将关键环节设计成系列问题供学生讨论，形成生生、师生间的互动氛围，不急于“告知说破”，而给学生搭建认知冲突，调动学生火热地思考，让学生的思维活跃起来，教师着力在思维处加以引导与点拨，旨在呈现怎样想出来的思考过程，把学生的思维活动逐步引向纵深，真正提升解题的能力.

3.图表法列不等式组解应用题，渗透了数形结合方法，辅助“形”解数，帮助学生迅速地找到已知量与未知量之间的关系.我们通过图表法分析的过程，实则提供一种探索性、研究性的学习平台，培养学生利用信息、处理信息，最终问题得以解决，从而增强学生综合分析问题的能力;学生也从冰冷的数学问题感受到了无可替代的快感——原来学习数学这么有成就感.

[参考文献]

[1]刘金英.理解数额学课堂教学的三要素[J].中学数学教学参考，2010（7）：2-3.

[2]李祥叠.数学思想在解题中的指导作用及其教学反思[J].中小学数学，2015（1）：5-6.

（作者单位：广西师大附属外国语学校，广西 桂林 541000）