生长数学视角下的课堂教学

赵静

关键词：初中数学;课堂教学;核心素养

中图分类号：G633.6    文献标识码：B    文章编号：1009-010X（2020）14-0051-03

数学的生长必须基于人的发展、生命的成长，才能凸显其真正的价值，学校教育也应该从生长的视角把学生作为一个完整的人、发展中的人来教育。笔者以冀教版教材“圆心角与圆周角”第二课时为例，对生长数学视角下课堂教学进行探讨。

一、教学过程

1.以旧带新，引入思考

探究一：圆周角的概念

师：同学们我们上节课学习了圆心角的有关知识，现在请同学们在练习本上画一个圆心角，并说一说圆心角的概念和特征。

师：试着画一画如果仅改变圆心角的顶点位置，可以画出多少个角？

生：无数个。

追问1：那我们怎样来研究这无数个角呢？

生：要对无数个角进行分类研究。

追问2：很聪明！那依据什么来进行分类呢？分成几类？

生：根据顶点和圆的位置分类，可以分成三类。

追问3：研究数学对象我们经常采用从特殊到一般的方法，那么我们先研究哪一类角呢？

生：先研究顶点在圆上的角，这类角比较特殊，因为顶点的运动轨迹是确定的。

追问4：那么你能类比圆心角概括这类角的概念和特征吗？并给这类角起个名字。

同桌之间交流并请代表回答。

师：同学们已经掌握了圆周角的概念，类比我们之前学习几何图形的过程，想一想我们接下来还要研究圆周角的什么呢？

生：还要研究判定、性质和应用。

师：很好！那怎样来判定是不是圆周角呢？

生：定义法。

辨一辨：判断下列图形是否为圆周角，并说明理由。

【设计意图】在复习圆心角的基础上又为类比出圆周角的特征打下良好的基础，让学生通过观察类比思考合作交流探究圆周角的特征。通过练习加深学生对圆周角定义理解。

2.合作交流，探求新知

接着我们来研究圆周角的性质

探究二：同弧所对的圆周角与它所对的圆心角的大小关系

师：试着画一画同一段弧所对的圆心角和圆周角，可以画几个圆心角，几个圆周角呢？

生：可以画一个圆心角和无数个圆周角。

追问1：同弧所对的圆周角和圆心角之间有没有关系？又怎样来研究呢？

生：类比刚才研究圆周角概念的过程，我们可以将圆周角进行分类研究。

生：依照我们学习几何的经验，同弧影响着角的特殊位置，我们也猜测存在着特殊的数量关系。

生：我们之前学习几何时，经常先用工具测量一下，先猜想再证明。

量一量：同桌合作，量角器度量圆周角和圆心角，并记录下数据。

猜一猜：你得出了什么猜想？

师：同学们通过测量得到的数据可能存在误差，老师用几何画板演示一下，注意观察圆周角和圆心角的大小关系。

得出猜想的结论后，我们必须要经过严谨的论证。我们没有办法一一证明无数个圆周角和一个圆心角，按照刚才同学们的研究思路，我们要先分类，依据是什么呢？

分一分：教师利用几何画板动态演示让学生感知圆周角的顶点在圆周上运动时，圆心与圆周角不同的位置关系，启迪学生对三种位置关系认识。

师：我们分成了三类，那么先研究哪一类呢？

生：从特殊到一般，先研究有直径的那种情况。

证一证：引导学生分析特殊情况时推理思路，并板书推理过程。

师：我们在遇到未知的问题时常常要转化为已知。那么其他两种情况怎样来证明呢？

学生充分思考后开展小组讨论探究二、三两种情况，教师巡视点拨，最后归纳板演圆周角定理。

说一说：用数学语言来总结得出的结论。

几何语言：

∵∠BAC和∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角

∴∠BAC=∠BOC

【设计意图】在培养学生逻辑思维的基础上，使学生体会从特殊到一般的解决问题的方法，渗透化归思想，从而也培养学生严谨的治学态度和创造性解决问题的能力。

随堂练习：基础题：求圆周角X的度数

当∠BOC=a°时，X=         ;

当∠BOC=70°时，X=         ;

当∠BOC=120°时，X=         ;

当∠BOC=180°时，X=         ;

追问：直径所对的圆周角是90°吗？请说明理由。

追问：反过来成立吗？90°的圆周角所对的弦是直径吗？请说明理由。

从而得到圆周角性质定理的推論1。

【设计意图】整个探究活动是为了让学生动眼、动手、动脑、动口积极参与学习活动，让学生深切感受到合情推理与演绎推理在探索问题时所发挥的重要作用，注重引导学生形象思维向理性思维的过渡，培养了学生创造性解决问题的能力。

3.运用新知，解决问题

巩固题：如图1，AB是⊙O的直径，∠A=10°，则∠ABC=________.

提高题：如图2，AB是⊙O的直径，⊙O外一点C，连接BC、AC， BC交⊙O于点D，且DC=BD，则△ABC是_____________三角形.

【设计意图】根据学生的认知规律，循序渐进地设计有目的、有坡度、有层次的练习题。拓展了学生思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，真正提高了数学学习效率。

4.归纳小结，反思提高

引导学生从知识、思想方法、如何添加辅助线、疑惑和评价等方面进行小结，并利用思维导图，建构有关圆的知识体系。

【设计意图】：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈。

二、基于课例的教学评析与思考

（一）抓住生长点，凸显数学本质

如果将本节课探究活动放在本节课中看其生长点：课堂中设置两个探究活动，探究一是圆周角概念，探究二是圆周角定理。课堂预设中我分析学生，在寻找证明思路上会出现这样的问题：1.不知分类画图2.不晓由特殊入手3.不懂做辅助线，所以探究一中概念的引入并没有创设常见的足球射门的情境来引出圆周角，而是在学生已有的经验上，利用概念同化的方式来学习新概念，并且在学生的头脑中种下了类比、分类、从特殊到一般的数学思想种子。这样探究一的活动就为学生积累了探究二的活动经验，第二个探究活动是第一个探究活动中数学思想、探究方法的传承和延续。当学生知道从特殊到一般是研究问题的方法时，解决第一种类型的证明后，自然能想到转化，得到辅助线。探究二使学生头脑中的种子醒过来，让它生根、发芽、生长，在学生思维生长过程中有效突破了本节课的重点和难点。

如果将本节课探究活动放在整个初中数学中看其生长点：本节课属于原理性命题课，探究的基本思路是确定研究对象——下定义——合情推理发现性质—演绎推理证明性质——研究特例得到圆周角定理的推论。这种研究思路学生并不陌生。例如：学习等腰三角形时，先下定义——发现性质——证明性质——研究判定——到研究特殊性得到等边三角形;研究平行四边形时同样是这样的探究思路，先学习平行四边形的定义——利用测量或中心对称发现性质——证明性质——将平行四边形特殊化又得到了矩形、菱形、正方形，这是从三角形到四边形再到圆的和谐扩展，是探究方法的再生长。

（二）引导自主探究，内化数学核心素养

数学学科的核心素养的提出对课堂教学提出了更高的要求。本节课在探究中通过动手画图、操作、观察、小组讨论、合作交流、动画演示等活动，让学生参与完整的知识形成过程，培养了学生的直观想象的核心素养。从合情推理到演绎推理，体会证明的必要性和严谨的说理意识，培养了学生逻辑推理的核心素养。通过探究得到了圆周角及定理的几何模型，又利用该模型去解决问题，培养了学生的数学建模的核心素养。生长数学视角下课堂教学，应在关注知识生长、生命成长的活动过程中，内化知识技能，积累活动经验，提升数學素养。

（三）融入信息技术，助力活力生长

信息技术与数学课堂的深度融合，为“教”与“学”带来了全新的方式。本节课中几何画板的应用，弥补了传统教学的不足，激活了学生的数学思维。本节课共三次应用了几何画板：移动顶点，构建概念阶段;操作观察，引发猜想阶段;分类说理，证明猜想阶段。动静结合地讲解为几何教学注入了活力。