犹豫模糊有序信息系统及其属性约简

贺艳平，张海东

数学与应用数学研究

犹豫模糊有序信息系统及其属性约简

贺艳平1，张海东2

（1. 西北民族大学 电气工程学院，甘肃 兰州 730030；2. 西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030）

犹豫模糊信息系统是对传统的信息系统的一种推广。首先，在犹豫模糊信息系统中利用犹豫模糊值的得分函数，定义了一种优势关系。通过用这种优势关系替代经典粗糙集理论中的不可分辨关系，建立了一种基于优势关系的粗糙集模型。此外，为了简化知识表示，提出了一种消除冗余信息的属性约简方法，并通过一个实例说明了该方法的有效性。

优势关系；优势粗糙集；犹豫模糊信息系统；约简

1 引言

粗糙集理论是Pawlak[1,2]提出的用来处理数据分析中不精确、模糊和不确定性问题的数学方法。然而，这种Pawlak粗糙集模型及其它的一些推广模型诸如模糊粗糙集[3,4]、直觉模糊粗糙集[5,6]、犹豫模糊粗糙集[7,8]等，都没有考虑偏好属性的优先顺序。在这种情况下，Greco等人[9-10]引进了标准的优先排序问题，把Pawlak粗糙集进行了推广，通过用优势关系替代不可分辨关系构建了基于优势关系的粗糙集方法（DRSA）。在DRSA中，近似的知识是向上合并类和向下合并类的集合，而优势类是由优势关系定义的对象集，其中条件属性是标准，类是偏好排序的。

犹豫模糊集理论是由Torra[11]提出的一种模糊集的扩展，它允许一个元素的隶属度具有几个可能的不同值。由于粗糙集和犹豫模糊集都能俘获到相同概念下不精确的方面，所以将两者融合起来研究也是自然的。文献[7]将犹豫模糊集与粗糙集相结合，提出了犹豫模糊粗糙集的概念。然而，文献[8]指出，基于犹豫模糊粗糙集的犹豫模糊子集不一定满足反对称。为了弥补这一缺陷，文献[8]在两个论域上引入了一种犹豫模糊粗糙集，并利用该模型给出了不确定环境下的一个新的决策方法。文献[12]将粗糙集扩展为区间值犹豫模糊环境，引入了区间值犹豫模糊粗糙集的概念，并在文献[13]中研究了该模型的拓扑结构。

另一方面，知识约简也是经典和广义粗糙集理论的一个重要研究内容，但是这个问题在犹豫模糊环境下很少被讨论。一般来说，可能没有足够的专业知识或者拥有足够的知识水平用一个值或一个单词来精确地表达我们对考虑对象的偏好，进而通常会在一些不同的值之间产生一定的犹豫。在这种情况下，传统的信息系统不能只用一个词汇或一个值来表达偏好或评价。考虑到这些事实，我们会很自然地对犹豫模糊背景下的信息系统进行研究，姑且称作犹豫模糊信息系统。本文的主要目的是引入一种犹豫模糊信息系统的优势关系，并通过用优势关系代替不可分辨关系，建立一种粗糙集方法。然后，从考虑对象排序的角度出发，在犹豫模糊有序信息系统中设计一种消除冗余信息的约简方法。

2 犹豫模糊信息系统中的优势关系

在文献[11]中，Torra引进了犹豫模糊集的概念，其定义如下。

为了比较犹豫模糊元素，Xia和Xu在文献[14]中定义了以下比较法则：

一个犹豫模糊信息系统是四元组

表1 犹豫模糊信息系统

例1 表1给出了一个犹豫模糊信息系统，其中

在实际决策分析中，我们总是会考虑在犹豫模糊信息系统中依据属性值确定可能占主导地位对象间的优势关系。一般来说，决策者可以考虑属性的增序和降序两种。如果一个属性的范围是按照递减或递增的顺序排序的，那么这个属性就是一个标准。

定义3 如果所有的属性都是标准的话，一个犹豫模糊信息系统就称为犹豫模糊有序信息系统。

在定义2的基础上，我们给出一种对两个考虑对象排序的方法，它的属性特征是通过犹豫模糊值来刻画。

从定义4和2可以很容易得到下面的定理。

证明 （1）和（2）是显然的。

由表1，有

其中

3 犹豫模糊有序信息系统的粗糙集方法

从定义5，我们很容易得到以下定理。

证明 根据定义4和5直接可得。

其中

同样，根据定义5，计算粗糙集

如下：

4 犹豫模糊有序信息系统的属性约简

在本节中，我们将提出一种在给定犹豫模糊有序信息系统中的属性约简方法。

通过定义6，很容易验证以下结论。

下面定义犹豫模糊有序信息系统中的几个特殊属性。

表2 表1的分辨矩阵

从可辨识函数最小析取范式的定义和定理6，可以验证以下结论成立。

由定理7可知，犹豫模糊有序信息系统提供了一种实用的属性约简方法。下面我们将举例说明如何获得犹豫模糊有序信息系统的属性约简。

例4 （接例1）根据定义8，可以得到表1的可辨识矩阵（见表2）。因此有

5 结论

虽然传统的粗糙集理论是处理不确定性信息强大而有用的数学工具，但它不能代替分类对象处理对象排序的问题。在这种情况下，我们在犹豫模糊背景下研究了一种称之为犹豫模糊信息系统的信息系统。这种犹豫模糊信息系统是数据表的一种重要类型，是从传统的信息系统中推广而来。首先，基于犹豫模糊值的得分函数，将优势关系引入到犹豫模糊信息系统。然后通过用这种优势关系取代不可辨识关系，在犹豫模糊有序信息系统中建立了一种粗糙集方法。最后，从考虑对象排序的角度出发，确立了一种在犹豫模糊有序信息系统中消除冗余信息的约简方法。

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Hesitant Fuzzy Ordered Information System and Its Attribute Reduction

HE Yan-ping1, ZHANG Hai-dong2

(1. School of Electrical Engineering, Northwest Minzu University, Lanzhou730030, China; 2. School of Mathematics and Computer Science, Northwest Minzu University, Lanzhou730030, China)

Hesitant fuzzy information systems are generalized types of traditional information systems. First, a dominance relation is defined by the score function of hesitant fuzzy value in hesitant fuzzy information systems. By introducing the dominance relation to hesitant fuzzy information systems, a dominance-based rough set model was established through replacing the indiscernibility relation in classic rough set theory with the dominance relation. Furthermore, to simplify the knowledge representation, an attribute reduction approach was put forward to eliminate the redundant information. An example is provided to illustrate the validity of this approach.

dominance relation; dominance-based rough set; hesitant fuzzy information systems; reduction

O159

A

1009-9115(2020)03-0001-05

10.3969/j.issn.1009-9115.2020.03.001

国家自然基金资助项目（61966032），甘肃省高等学校科学研究项目（2016B-005），西北民族大学中央高校基本科研业务费项目（31920170010）

2019-09-09

2019-12-12

贺艳平（1978-），女，山西稷山人，硕士，副教授，研究方向为不确定性理论及其应用。

（责任编辑、校对：赵光峰）