模糊过程熵的一些新结论

冀占江，覃桂茳，李连芬

(1.2.3.梧州学院 大数据与软件工程学院，广西 梧州 543002)

1 引言和概念

设P={P1,P2…Pn}是X上的有限模糊分割，如果P中的每一个元素都在F中，则称P是X上的有限可测模糊分割；如果一个模糊集在F中，就称该模糊集为可测模糊集。以下考虑的都是m(X)=1的模糊测度空间，不再进行说明。

定义1.3[6]设A是X上的模糊集，T：X→X是函数，按如下方式定义X上的模糊集T-1A：对X中的任何一个点x，(T-1A)(x)=A(T(x)).对于n≥2，按如下方式定义X上的模糊集T-nA：对X中的任何一个点x，(T-nA)(x)=A(Tn(x)).

定义1.4[6]设P={P1,P2…Pn}是X上的模糊分割，对于n≥0，按如下方式定义T-nP：T-nP={T-nPi|1≤i≤n},n≥1；T0P=P.

显然T-nP也是X上的模糊分割。

定义1.5[6](X,F,m)是模糊测度空间，T：X→X是函数，若对∀A∈F，有T-1A∈F，则称函数T是可测变换。

定义1.6[6](X,F,m)是模糊测度空间，T：X→X是函数，若对∀A∈F，有T-1A∈F和m(T-1A)=m(A)，则称函数T是保测变换。

定义1.7[7]设(X,F,m)是模糊测度空间，P={P1,P2…Pn}是X上的可测模糊分割，T：X→X是保测变换，则称(X,F,m,P,T)是模糊过程。

2 若干引理

引理2.1[6]设P，Q，R是X上的有限可测模糊分割，则有

(1)H(P▽Q|R)=H(P|R)+H(Q|P▽R)；

(2)H(P▽Q)=H(P)+H(Q|P)；

(3)若PQ，则H(R|P)≥H(R|Q)，H(P)≤H(Q)；

(4)H(P|R)≤H(P).

引理2.3[7]设(X,F,m,P,T)是模糊过程，对任意的n≥1，则有

(1)H(T-nP)=H(P)；

引理2.4[8]设(Ai)1≤i≤n是X上的模糊集序列，则有

引理2.5 设P，Q，R是X上的有限可测模糊分割，则有

(1)H(P▽Q)≤H(P)+H(Q)；

(2)H(P▽Q|R)≤H(P|R)+H(Q|R).

证明：(1)由引理2.1(2)知：H(P▽Q)=H(P)+H(Q|P)，由引理2.1(4)知：H(Q|P)≤H(Q)，故H(P▽Q)≤H(P)+H(Q).

(2)由引理2.1(1)知：H(P▽Q|R)=H(P|R)+H(Q|P▽R).下证：RP▽R.

设P={P1,P2…Pn}，R={R1,R2…Rm}，∀1≤j≤m,∀x∈X，有

3 主要定理

定理3.1设(X,F,m,P,T)，(X,F,m,Q,T)是两个模糊过程，则有

(1)H(P▽Q，T)≤H(P，T)+H(Q，T)；

(2)H(P，T)≤H(Q，T)+H(P|Q).

证明：(1)由引理2.2知：

由引理2.5(1)知：

故

即

所以

H(P▽Q,T)≤H(P,T)+H(Q,T).

(2)设S={S1,S2…Sn}，R={R1,R2…Rm}是X上的有限可测模糊分割，首先证：RS▽R.∀1≤j≤m，∀x∈X，有又S1,S2…Sn互不相交，且由引理2.4(2)知：因此再由引理2.4(1)知：(SiRj)1≤i≤n不相交.∀x∈X，由引理2.4(2)知：

再由引理2.5(2)知：

故

下证：H(T-1P|T-1Q)=H(P|Q).设P={P1,P2…Pn}，Q={Q1,Q2…Qm}，则

又T：X→X的保测变换，故

因此H(T-1P|T-1Q)=H(P|Q)，故

由引理2.2知：

由引理2.3(1)知：