多层金属板低频磁屏蔽效能的理论模型与特性分析

李玉凌,何连杰,郭安琪,焦重庆*，车宇颀

(1.中国电力科学研究院有限公司，北京 100192；2.华北电力大学电气与电子工程学院，北京 102206；3.西安科技大学通信与信息工程学院，西安 710054)

低频磁场可以在电子设备的电路中感应骚扰电压，进而可能引发电磁兼容问题[1-3]。在无线电能传输系统中,电动汽车充电系统运行时会向外扩散磁场，为了降低磁场对充电设备的干扰,提高整个系统的工作效率，需要对电动汽车进行磁屏蔽设计[4-6]。磁体是核磁共振系统的重要组成部分，它的磁力线向空间各个方向散布形成杂散磁场，将干扰周围环境中那些磁敏感性强的设备使其不能正常工作，目前广泛采用安装磁屏蔽的办法来解决[7]。此外，低频磁场屏蔽在无线充电、电磁发射及电力装备等场合也有广泛的应用[8-10]。

磁屏蔽是削弱磁场最有效、最基本的途径之一，屏蔽体对电磁场的屏蔽能力可以用磁屏蔽效能表示[11]，对屏蔽效能的研究与分析是开发设计屏蔽体结构的前提和基础。通过研究屏蔽效能，一方面能够为易干扰源选择合适的屏蔽体，减少磁场对人和电子设备造成的不利影响[12]；另一方面能够在屏蔽产品设计之初发现问题，减少屏蔽设备开发研究成本，缩短开发周期[13]。当前屏蔽体多由金属板制作，影响金属板屏蔽效能的影响因素包含板的位置、厚度、大小、材质等诸多因素[14]，因此，综合多种因素研究金属板屏蔽效能对屏蔽体开发设计过程有着重要的意义。

在Moser的研究中，针对低频场下无限大单层导体板对圆环线圈所产生的磁场屏蔽问题，总结了两种分析方法[15]：第一种方法是通过推导矢量动态位方程的精确解来分析屏蔽效能公式；第二种方法是屏蔽传输理论的扩展，结合Levy对于无限大屏蔽板的研究[16]以及Schelkunoff有关屏蔽传输理论的研究[17]，分析了环形磁场源平行于无限大金属板的低频屏蔽问题，同时推导出金属板两侧与内部的磁场表达式，并将实验数据与Levy和Schelkunoff的研究结果进行了比较。在后续研究中，文献[18]针对低频(低于50 kHz)电磁场，在Moser公式的基础上提出了适用于计算无限大屏蔽板屏蔽效能的简化公式，且程序计算结果与实验结果一致。目前中外有不少学者对单层板屏蔽效能进行了大量的分析[19]，但对于圆环线圈情况下多层板屏蔽效能理论公式及其影响因素的研究较少。由于多层板结构可以更好地调控屏蔽效能，可用于对磁屏蔽要求较高的场合，因此需要开展多层板磁屏蔽效能的研究。

本文参考单层板时的电磁场表达式，通过分离变量法严格求解麦克斯韦方程组，推出多层板磁屏蔽效能的解析公式，并对其进行编程计算。简化多层板屏蔽效能公式至单层板，将结果与Moser公式进行比较验证，并对多层板磁屏蔽运用CST软件进行有限元仿真，验证多层板屏蔽效能计算公式的可靠性。在此基础上，分析了多层板位置、多层板顺序以及板间空隙对屏蔽效能的影响。

1 理论分析

图1为无限大多层金属板对圆环线圈的磁屏蔽结构示意图，圆环线圈所在的面与金属板所在面平行，以圆环线圈圆心为坐标原点建立圆柱坐标系，z轴指向板。其中，圆环线圈的半径为a，通有频率为f的电流I，圆环线圈到多层金属板最左侧距离为b，圆环线圈到多层金属板最右侧距离为c，观测点到z轴距离为ρ。一共有N块板，第n块板的电导率、磁导率、介电常数分别为μn、σn和εn，第n块板厚度dn=zn+1-zn，占据znzN+1为区域N+1。

图1 多层金属板屏蔽效能模型Fig.1 Multilayer metal plate shielding effectiveness model

根据文献[13]中圆环线圈侧电磁场分布可得区域0的电磁场表达式：

(1)

C0eτ0z)dλ

(2)

自由空间电磁场只存在前向波，金属板存在后会出现反向波，在式(1)、式(2)中e-τ0|z|部分为前向波，C0eτ0z部分为反向波。因此在E0和B0中取C0=0可得到不加屏蔽时空间的电磁场分布，即圆环线圈单独在自由空间产生的电磁场：

(3)

(4)

对于区域1到区域N，既存在前向波又存在反向波，因此由式(1)、式(2)可类比得：

(5)

(Dne-τnz+Cneτnz)dλ

(6)

对于区域N+1，只存在前向波，因此类比可得：

(7)

(8)

对于多层金属板的每个边界，要求电场、磁场强度的切向分量相等，即：边界两侧电场的φ分量相等，磁场的ρ分量相等。

(9)

(10)

(11)

根据边界条件τN+1=τ0,μN+1=μ0，将n=N和n=0代入式(10)中可以发现结果与式(9)、式(11)一致，因此对于所有区域式(10)始终成立，将其改写为矩阵形式可得：

(12)

(13)

式中，n取值从0～N。

由式(12)递推可得：

(14)

式(1)、式(2)中e-τ0|z|部分的系数1即为D0，将边界条件D0=1、CN+1=0代入式(14)可求得：

(15)

选取B的z分量，在场点z(z>zN+1)处的屏蔽效能SE为

(16)

(17)

(18)

2 多层板屏蔽效能公式验证

2.1 理论验证

将推导得到的多层板磁屏蔽效能表达式简化到单层板，与文献[13]中单层板屏蔽效能公式进行比对，以验证公式的正确性。

将n=0、n=1代入式(13)可得：

(19)

(20)

令

(21)

则：

(22)

将式(22)代入式(15)可求得：

(23)

将式(19)、式(20)代入式(23)化简可得：

(24)

则多层板简化到单层板时屏蔽后的磁场z分量为

(25)

由文献[11]可知，金属板右侧磁场z分量为

(26)

式(25)、式(26)中z2-z1=t，τ=τ1，对比发现两式是一致的，验证了多层金属板屏蔽效能推导公式的正确性。

2.2 仿真验证

在CST电磁工作室中搭建图1所示多层板电磁屏蔽模型，利用低频求解器(有限元法)求解，用1 A的虚拟电流环替代圆环线圈，选取参数a=0.06 m，b=0.04 m，z=0.08 m，ρ=0.06 m。共有三块金属板，其厚度分别为d1=0.2 mm，d2=0.1 mm，d3=0.1 mm；电导率分别为σ1=5.8×107S/m，σ2=5.8×107S/m，σ3=3.8×107S/m；相对磁导率均为μr=1。选取相同参数对式(18)进行编程计算，公式中积分区间为无限大，因此计算机处理时需要截断，将积分下限改写成ω/c，积分上限改写成10/z，积分步长取(10/z-ω/c)/1 000。

磁屏蔽效能计算结果如图2所示，可以看出，两种结果基本一致，验证了理论公式的可靠性。

图2 程序与仿真结果对比Fig.2 Comparison of program and simulation results

3 多层板屏蔽效能特性分析

3.1 多层板位置

由式(5)可知，第n块板中磁感应强度的一般表达式中仅Dne-τnz、Cneτnz这两项与z坐标有关，因此多层板位置对第n层金属板场强的影响仅体现在这两项中。由式(10)可导出：

(27)

(28)

从式(27)、式(28)可以看出，相邻两层间Dn+1e-τn+1zn+1、Cn+1eτn+1zn+1与Dne-τnzn、Cneτnzn的关系，取决于层厚度(zn+1-zn)，与z坐标具体值无关。因此，在多层板情况下，预测当板1～n的厚度给定、圆环线圈和观测点位置给定后，屏蔽效能结果不变。

为了验证理论分析的可靠性，对推导得到的多层金属板屏蔽效能公式进行编程计算，设置参数a=0.06 m，z=0.08 m，ρ=0.06 m。共有N=2块金属板，其厚度分别为d1=0.3 mm，d2=0.2 mm；相对磁导率均为μr=1；电导率分别为σ1=5.8×107S/m，σ2=3.8×107S/m。

圆环线圈到观测点距离不变，多层板顺序不变，改变多层板位置计算屏蔽效能，结果如图3所示。可以看出，当圆环线圈到观测点的距离、金属板厚度顺序不变时，屏蔽效能与多层板位置无关，与理论分析结果一致。

图3 多层金属板不同位置下的屏蔽效能Fig.3 Shielding effectiveness of multilayer metal plates at different locations

3.2 多层板顺序

将n=2代入式(13)使多层板简化为双层板，有：

(29)

令

(30)

则：

(31)

将式(31)代入式(15)化简可得：

(32)

γ21α11β12+γ21α12β22+γ22α21β12+γ22α22β22=

(33)

交换1、2层板顺序，有τ′1=τ2，τ′2=τ1，μ′1=μ2，μ′2=μ1，z′2=z1-z2+z3，化简求得DN+1=D′N+1,即双层板顺序不影响磁屏蔽效能。

为了验证理论分析的可靠性，对推导得到的多层金属板屏蔽效能公式进行编程计算，设置参数a=0.06 m，b=0.04 m，z=0.08 m，ρ=0.06 m。

第一块铜板厚度为d1=0.3 mm，相对磁导率为μr1=1，电导率为σ1=5.8×107S/m；第二块铝板厚度为d2=0.2 mm，相对磁导率为μr2=1，电导率为σ2=3.8×107S/m。交换双层板顺序，计算屏蔽效能，结果如图4(a)所示。

第一块板厚度为d1=0.3 mm，相对磁导率为μr1=100，电导率为σ1=0.8×107S/m；第二块板厚度为d2=0.2 mm，相对磁导率为μr2=1，电导率为σ2=5.8×107S/m。交换双层板顺序，计算屏蔽效能，结果如图4(b)所示。

从图4中可以看出，交换顺序后屏蔽效能曲线基本一致。即当圆环线圈、金属板及观测点相对位置不变时，屏蔽效能与双层金属板顺序无关，与理论分析结果一致。

三层金属板的排列顺序共有六种组合方式，即123、132、213、231、312、321。基于互易原理，123与321屏蔽效能相等；132与231屏蔽效能相等；213与312屏蔽效能相等。对不同顺序下多层板屏蔽效能公式进行比较，推导得出当三块板材料不同时，123、132和213顺序下屏蔽效能不同。

对多层板屏蔽效能公式进行编程计算。设置参数a=0.06 m，z=0.08 m，ρ=0.06 m，共有N=3块金属板，其厚度分别为d1=0.3 mm，d2=0.2 mm，d3=0.4 mm；相对磁导率分别为μr1=1，μr2=50，μr3=100；电导率分别为σ1=3.8×107S/m，σ2=1.2×107S/m，σ3=0.8×107S/m。改变金属板顺序，计算屏蔽效能，结果如图5所示。

图4 双层金属板不同顺序下的屏蔽效能Fig.4 Shielding effectiveness of double-layer metal plates in different orders

图5 三层金属板不同顺序下的屏蔽效能Fig.5 Shielding effectiveness of three-layer metal plates in different orders

从图5中可以看出，123与321曲线一致，132与231曲线一致，213与312曲线一致，123、132、213曲线有差异。即当圆环线圈、金属板及观测点相对位置不变时，颠倒板的顺序不影响屏蔽效能，交换相邻两板顺序屏蔽效能发生改变。

3.3 板间空隙

由式(27)、式(28)可知，若多层金属板间有空隙，空气层的厚度将会影响屏蔽效能。因此，不能认为多层金属板靠在一起和分开布置结果一样，需要分析板间空隙对多层板屏蔽效能的影响。

对多层板屏蔽效能公式进行编程计算。设置参数a=0.06 m，z=0.08 m，ρ=0.06 m，共有N=2块金属板，其厚度分别为d1=0.3 mm，d2=0.2 mm；相对磁导率均为μr=1；电导率分别为σ1=5.8×107S/m，σ2=3.8×107S/m。改变金属板空隙大小，计算屏蔽效能，结果如图6所示。

图6 双层金属板不同空隙下的屏蔽效能Fig.6 Shielding effectiveness of double-layer metal plates in different gaps

从图6中可以看出，在圆环线圈、金属板及观测点相对位置不变的情况下，频率低于10 kHz时多层板空隙对屏蔽效能的影响较小，频率高于10 kHz时多层板屏蔽效能随空隙的增大而增大。

4 结论

推导得出了多层无限大金属板对圆环线圈的磁屏蔽效能表达式。首先参考单层金属板存在时圆环线圈的电磁场计算公式，类比列出多层板情况下空间各区域电磁场方程，然后对于多层金属板的每个边界，要求电场、磁场的切向分量相等，根据边界条件计算发现各区域电磁场方程系数满足一定递推关系，进而推出多层板情况下的屏蔽效能理论公式。将多层板屏蔽效能计算公式取特殊值简化成单层板，得到的结果与Moser单层板屏蔽效能公式一致，并通过仿真和理论公式编程的比较验证了多层板屏蔽效能计算公式的有效性。对多层板屏蔽效能不同影响因素进行计算分析，得到了以下结论。

(1)当金属板的厚度、顺序以及圆环线圈和观测点位置不变时，屏蔽效能与多层板位置无关。

(2)当圆环线圈、金属板及观测点位置不变时，颠倒板的顺序不影响屏蔽效能。三层板情况下，交换相邻两板顺序屏蔽效能发生改变。

(3)频率低于10 kHz时多层板空隙对屏蔽效能的影响较小，频率高于10 kHz时多层板屏蔽效能随空隙的增大而增大。