关于高中数学求最值问题的方法探讨

陈尚

摘要：在人生的整个学习长河当中，三年的高中生活是学生知识形成系统的一个重要的阶段。本篇文章我们将就高中所涉及到的求最值问题的方法进行探讨，旨在为高考数学试卷当中的这一热点问题，提供更多维的解决思路。

关键词：高中数学;最值问题;数学应用意识;抽象思维能力;高考

引言：在高中数学当中，求最大值和最小值的问题是涵盖范围比较广的一类数学题型，这种问题有多种思维方法能够对其进行解决，而且应用方法解决最值问题能够快速的得出想要的结果，并且省时省力。高中课本当中关于求最值的问题是比较普遍的，虽然并没有关于最值问题的单独章节。科技领域包括生产生活领域，很多实际问题基本上都可以将其归结为数学上的最值问题，学生在进行解答最值问题的过程当中，将这种抽象思维能力与生产生活实际进行结合，就能够培养及数学应用意识。

一、解决高中最值问题的一系列方法即具体例子

1.1利用二次函数的性质

？例1：

将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

【分析】设利润为y元，每个售价为x元，则每个涨（x-50）元，

从而销售量减少10？（x-50）？个，共售出500-10？（x-50）？=100-10x？（个）

y=？（x-40）？（1000-10x）

=-10？（x-70） （x-70） +9000？（50≤x？<100）

解得，x=70时，y最大为9000。所以，为了赚取最大利润，售价应定为70元。

1.2利用配方

例2：

设Sn是数列{an} 的前n项和，若不等式a2n+S2nn2≥入a21对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，求入的最大值。

【分析】当a1=0时，入ER; 当a1≠0 时，由a2n+S2nn2≥入a21得入≤ （ana1）

2+ （a1+an2a1） 2.

设ana1=t， 则入st2+ （12+t2） 2. 又t2+ （12+t2）2=54t2+t2+14=54 （t+15） 2+15≥15

入≤15. 综上可知入的最大值是15.

1.3利用判别式

例3：

已知实数a，b，c，且a，b，c满足：a+b+c=3，a2+b2+c2=92， 求a的最大值。

【分析】由于题设中含有三个变量，可以考虑先通过等量代换消去c， 可使问题转化为关于变量b的一元二次方程，因方程有实数根，再利用判别式A≥0求出a的取值范围。将c=3- （a+b） 代入a2+b2+c2=92， 整理得4b2+4 （a-3） b+4a2-12a+9=0， 由题设知方程有实数根，由Δ≥0. 求之得Osas2. 所以a的最大值是2.

1.4利用解不等式

例4：

设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1， 求2x+y的最大值。

【分析】： ： ： 4x2+y2+xy=1， ： . （2x+y）2-3xy=1， 即（2x+y） 2-32·2xy=1，

（2x+y） 2-32 （2x+y2） 2 <1， 解之得： （2x+y） 2≤85，

即-2105≤2x+y≤2105.所以2x+y的最大值是2105

1.5利用数形结合

例5：

若|x-al+1x≥12对一切x》0恒成立，求a的最大值。

【分析】分别考虑函数y1=lx-al和y2=-1x+12的图像，由图像容易知道，当as2时，

|x-a|≥-1x+12对一切0恒成立，所以a的最大值为2.

1.6利用导数

例6：

设直线x=t与函数f （x） =x2，g （x）=lnx的图像分别交于点M， N， 求当|MNI达到最小时的的值。

【分析】由题|MNI=x2-lnx， （x>0）不妨令h （x） =x2-lnx， 则h' （x） =2x-1x，令h' （x） =0解得x=22， 因xE （0， 22）时，h' （x） 0， 所以当x=22时，IMNI达到最小。即t=22.

1.7利用对称

例7

双曲线x23-y2=1， F是右焦点，A （3， 1） ， P是该双曲线右支上任意一点，求IPF|+|PAI的最小值。

【分析】拿到本问题是，我们就能够清楚的了解到它考察的是双曲线的定义，首先结合的思想。这道题由于涉及范围广，所以我们必须要对其进行充分的思考，才能够对问题进行整体的解读。我们通过双曲线的定义，可以得到下列式子：IPFI-IPF1|=-2a=-23，而IPF1|+|PAI≥|AF1|=26， 当且仅当A、P、F1三点共线时等号成立，两式相加得|IPF|+|PA|≥26-23， 所以IPF|+|PAI的最小值为26-23.

1.8利用构造法

例8：

设实数x，y满足3sxy2≤8，4sx2ys9， 求x3y4的最大值。

【分析】可以用已知的兩个不等式构造出x3y4的最大值。只需将4sx2ys9平方，3sxy2≤8变为倒数，就得到（x2y）26 [16， 81] ， 1xy2e [18， 13] ，因此x3y4= （x2y） 2·1xy2E [2， 27] ， 所以x3y4的最大值是27.

结束语

随着教师对高考数学模块的不断专研，能够发现最值类的题型正在向在多元化进行发展，而且最值问题所涉及到的行业和领域也更为广泛，并且计算难度也会随之增加。因此，教师一定要运用合适的环境，将多重思维方式传授给学生，这样才能够让最值问题的解答办法有一个良好的归纳。

参考文献：

[1]郑英元，毛羽辉.《数学分析》 （上册）。 宋国栋编高等教育出版社、

[2] 《高中代数》 （下册）， 人民教育出版社，