函数的性质在解题中的应用

周康新

【摘 要】 本文主要是对函数的性质在解题中的应用进行分析和探究，进而培养学生的分析问题和解决问题的能力。我们在解函数类型的题目时，如果能够挖掘题目中的隐含条件，利用函数的性质，常常能够快速解决。

【关键词】 函数的性质;单调性;奇偶性;数学方法

函数是高中数学的主要内容之一，掌握函数的性质对研究函数的内在联系，培养学生分析问题和解决问题的能力有着非常重要的作用。本文主要是对函数的性质在解题中的应用进行分析和探究，进而培养学生的分析问题和解决问题的能力。我们在解函数类型的题目时，如果能够挖掘题目中的隐含条件，利用函数的性质，常常能够快速解决。函数的单调性和奇偶性是研究函数的两大基本工具，在学习中要充分挖掘其潜在解题功能。

一、函数单调性

判断函数单调性（求单调区间）的方法：从定义入手、从导数入手、从图像入手、从复合函数的单调性入手等。函数的单调性是函数的一个重要性质，学会判断函数的单调性对学生来说尤为重要。根据定义求解具有很强的严密性，推理比较严格，但过程比较复杂;用图像法求解，比较直观，但需要画出图形，也不够严密;利用导数求解，方法比较新颖，过程也比较简单;若一个函数是由两个或以上的简单函数复合而成，利用复合函数法求解，简单快捷，但要特别注意在定义域内研究。总之，方法各有千秋，我们应当认真体会和理解，从而提高解决函数单调性问题的能力。

二、函数奇偶性

函数奇偶性的判断方法包括：第一，定义法：①看定义域是否关于原点对称;②看f（x）与f（-x）的关系。这种方法我们一般用来证明函数的奇偶性，过程比较严密。第二，图像法：作出图像，看是否关于原点或y轴对称。这种方法比较直观，但不严密，而且需要作出它的图像。

三、函数的性质应用

例1：判断函数f（x）=x2-4、g（x）=x2-|x|、h（x）=x2-|x|-2的奇偶性，并画出图像，求出函数的零点，说出这些零点有何特点。

这3个函数都是偶函数， 偶函数的图形关于y轴对称，零点具有对称性，若x=a是函数的零点，则x=-a也是函数的零点。

变式1：若函数f（x）=x2+2a|x|+4a2-3（a∈R）的零点有且只有一个，求实数a的值。

易知x=0是函数f（x）的零点，且f（x）没有其他零点。由f（0）=0得a=。当a=时，代入函数知函数零点有三个：x1=0，x2=，x3=，不符合题意;当a=时，知函数的零点只有一个x=0。于是a=。

变式2：已知方程有唯一解， 求实数a的值。

方程转化为函数为，由题意我们知道方程有唯一解，转化为函数有一个零点。 于是x=0是函数f（x）的零点，且f（x）没有其他零点。由f（0）=0得a=0或a=2。当a=0时，f（x）=x2有唯一的零点x=0;当a=2时，函数的零点有三个，即方程的解有三个x1=0，，，不符合题意。于是a=0。

判断函数f（x）=x3、g（x）=x3+2x的奇偶性和单调性，并画出图像。这两个函数都是奇函数，奇函数的图形关于原点对称，且这两个函数在R上单调递增。

追问：若a，b互为相反数，则f（a）与f（b）的关系为f（a）=-f（b），反之成立吗？

对于例题中的两个函数结論是成立的，但是对于其他的奇函数不一定成立。例如h（x）=sinx，h=h，但是与不互为相反数。

例2：已知函数f（x）=x3+2x。

（1）若f（x）=t，f（y）=-t，t∈R，求x+y的值;

（2）若f（x-1），f（y-1）=-t，t∈R，求x+y的值。

奇函数的图像关于原点对称，且此函数在R上单调递增。若函数值互为相反数，则自变量也互为相反数。我们可以得到（1）中的x，y互为相反数，进而x+y=0。对于（2），我们只需把x-1，y-1当成一个整体，当成一个数，这两个数也互为相反数，我们得到（x-1）+（y-1）=0，即x+y=2。

变式1：x，y为实数，且满足关系式（x-1）3+2（x-1）=3，（y-1）3+2（y-1）=-3，求x+y的值。

本题我们可以直接猜出x=2，y=0是方程的解，但是解答不严密。如果此题把方程改为（x-1）3+20（x-1）=3，（y-1）3+20（y-1）=-3，此时方程的解并不好猜测。放在这里，我们是要运用函数的知识解决这个问题。两个方程形式上很相似，很整齐，其实我们要考查这样一个函数f（x）=x3+2x，这个函数的性质我们已经研究过了。现在我们来看本题，不就是f（x-1）=3，f（y-1）=-3，函数值互为相反数可以推出x-1，y-1也互为相反数，我们可以得到（x-1）+（y+1）=0，即x+y=2。

变式2：a，b为实数，且满足关系式a3-3a+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值。

首先两个方程可化为：（a+1）3+2（a-1）=-2，（b-1）3+2（b-1）=2，这是本题的关键，然后也考虑函数f（x）=x3+2x，跟前面一样，得出答案a+b=2。

变式3：方程（x+1）3+（2x+3）3+6x+8=0，求方程的解。

有同学看到这样一个方程，总会把方程左边完全拆开，再转化为一个函数，利用导数研究函数的单调性，进而猜测方程的解，这是一个办法。但是我们可以将此方程变形为这样的方程：（x+1）3+（2x+3）3+2（x+1）+2（2x+3）=0，即（x+1）3+2（x+1）=-[（2x+3）3+2（2x+3）]令f（x）=x3+2x，则有f（x+1）=-f（2x+3），于是x+1=-（2x+3），得x=。

变式4：已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）+f（x）<0恒成立，求x的取值范围。

解答：由题意知：对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）<-f（x），因为f（x）在R上是奇函数，所以可转换为对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）<-f（x），又因为f（x）在R上是增函数，所以对任意的t∈[-3，3]，tx-2<-x，即对任意的t∈[-3，3]，tx+x-2<0，令g（t）=xt+x-2，这是关于t的一次函数或常数函数，我们只需端点处成立即可。于是g（-3）<0，g（3）<0，解得-1

变式5：已知函数，函数f（x）的最大值M，最小值m，求M+m的值。

解答：由函数解析式可以转化为，令，则f（x）=1+g（x），求f（x）的最大最小值也是在求g（x）的最大最小值。而g（x）是奇函数，根据奇函数图像的特点知道最大最小值互为相反数，即g（x）max+g（x）min=0。于是M+m=（1+g（x）max））+（1+g（x）min）=2。解决此类问题并不是单纯的奇函数或者偶函数，而是给出函数解析式一部分是具有奇偶性的，因此先要对函数表达式进行化简变形才行。

通过一些例题和变式初步探讨了函数的性质在解题中的应用。通过例题结合函数性质来解决高中数学问题，使我们了解这种重要的数学思想方法。接下来需要我们不断地在实践中总结，对函数性质进一步的理解，并逐步形成科学的分析问题和解决问题的能力。

【参考文v献】

[1]吕风祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨： 哈尔滨工业大学出版社，2003.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.