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以立体几何为背景的江苏中高考题的命题趋势

2020-06-29孙宇

数学大世界·中旬刊 2020年5期
关键词:立体几何

孙宇

【摘 要】 近几年,以立体几何为考查背景的题型层出不穷。在江苏的高考题、中考题、模拟题中大量出现。这一类题目对于学生来说比较新颖,也比较难理解——主要原因在于立体感不强,找不到相应的解答方法。这一类题目,一般情况下都需要在理解题意的基础上,将立体图形转变为平面图形来求解。其中一些高考题目本身也可以利用初中的方法进行求解(相似三角形),而且会更加简单。不仅如此,江苏高考的真题直接影响了中考题型的命题,方法之间也有着异曲同工之妙。对于一些高考真题,进行合理的改编,让初中同学们的思维更加灵活,对于以后的学习有着积极的影响。

【关键词】 立体几何;平面图形;相似三角形

一、利用初中的方法來解答高中题

例1:如图1是一个用铁丝围成的篮框,我们来仿制一个类似的柱体形篮框。如图2,它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2,矩形A2C2EO、B2D2EO及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn,OEFG围成,其中A1、G、B1在上,A2、A3…、An与B2、B3、…Bn分别在半径OA2和OB2上,C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分别在EC2和ED2上,EF⊥C2D2于H2,C1D1⊥EF于H1,FH1=H1H2=d,C1D1、C2D2、C3D3、CnDn依次等距离平行排放(最后一个矩形状框的边CnDn与点E间的距离应不超过d),A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn。

(1)求d的值;

(2)CnDn与点E间的距离能否等于d?如果能,求出这样的n的值,如果不能,那么它们之间的距离是多少?

例2:如图3,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm。分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm。现有一根玻璃棒l,其长度为40cm。(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;

(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度。

综合分析:在江苏高考的2016年、2017年连续出现了立体几何的问题。上面的例1是2016年无锡中考的最后一题,例2是2017年的江苏高考真题,这种题型也可在教材上找到它的影子,如苏科版《数学2》(必修)第60页练习第4题。这两道题目的解题方法类似,而且例2作为高考真题可以利用初中的方法进行解答。这两道题目的 基本解题方法均是将立体图形转变为平面图形求解。而立体图转变为平面图的基本方法有两种:一是将图形进行展开(如例3及其变式),另一种就是通过截面图来进行求解——例1作出俯视图、例2作出截面图。对于例1,由于是等腰三角形为背景,只要画出俯视图后,基本上理解清楚题意就可以很快求解出来;对于例2,作出截面图,然后需要利用相似三角形的方法进行求解。读者可以自行做一下这两道例题,相信会有很大收获。

二、江苏高考应用题对中考数学命题的渗透与影响

例3:请你设计一个包装盒,如图4所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm。

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

【变式】在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,如图5,再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒,底面为矩形EFGH,如图6,设小正方形的边长为x厘米。

(1)当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时,求纸盒侧面积的最大值;

(2)当EH∶EF=7∶2,且侧面积与底面积之比为9∶7时,求x的值。

综合分析:例3及变式的命题背景类似,均是以长方体的展开图为背景,求解相关问题。试题的来源均是这样一道题——苏科版《数学1》(必修1)第二章《函数》的复习参考题:如变式图所示,在一张边长为20cm的正方形铁皮的4个角上,各剪去一个边长是x cm的小正方形,折成一个容积是y cm?的无盖长方体铁盒,试写出用x表示y的函数关系式,并指出它的定义域。题目的解答难度不大,但是却体现了高考命题和中考命题的一种趋势,以立体几何为背景的题型开始显示出威力。立体图形包装盒问题,除了出现在2011年江苏高考题(例3),还出现在2006年无锡中考真题、2010年无锡中考真题中;再从2016年无锡中考模拟题到2017模拟题(如变式2)、2018及2019年模拟题,近几年这类题型层出不穷,大有“翻身”的趋势。

【参考文献】

[1]单遵.普通高中课程标准实验教科书:数学2(必修)[M].南京:江苏教育出版社,2012.

[2]单遵.普通高中课程标准实验教科书:数学1(必修)[M].南京:江苏教育出版社,2012.

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