运用类比法巧解立体几何题

蒋慧玲

【摘要】  作为关键性思维方法之一，类比法被很广泛地运用在高中数学中。在高中立体几何中，涉及很多通过延伸、拓广平面几何的内容。通过利用类比技术，可以进一步认知空间图形，利用平面图形领域的解题思路及相关启发，来另辟一种解决空间图形问题的思路。因此，在解答立体几何题目时，应多多考虑通过类比法，来有效简化并顺利解答。基于此，本文从高中数学出发，概述了类比法，并且探讨了这种方法用于巧解数学立体几何题的措施，仅供参考。

【关键词】  立体几何 类比法 逻辑推理

【中图分类号】  G633.6             【文獻标识码】  A     【文章编号】  1992-7711（2020）15-155-01

作为极具创新性的一种逻辑推理手段以及深入探索的工具，类比法仅凭极少数的知识与熟悉的个别对象，能够准确探测并且推移延伸至未知领域的陌生对象。在类比推理的过程中，一般会从几个相关对象间的某些类似或者相同点出发，来推理得知它们在别的有关方面可能一致的逻辑思维法之一。所以，在立体几何的课堂上，应积极引导高中生熟练运用数学类比法来探究、解决问题，并且明确多个对象间存在的类比关系，以帮助高中生提升学习效率。

一、类比法概述

在新世纪下，面临素质教育的环境，高中数学教学领域也应认真思考如何快速改革的问题。所以，在平时的教学过程中，必须及时转变自身的教育理念，创新改革人才培养的具体模式，以帮助广大高中生进一步增强能力。

目前，数学思想指的是在研究数学的过程中，处理问题的一些根本基础观点及想法，属于理性认知数学规律的内容，而数学方法则指的是研习数学的一种技术方法方式。通过数学思想，能体现出数学的本质所在，属于数学之精髓所在。唯有灵活运用各种数学思想，方才可转化数学的基础知识及技能，来形成分析、解决数学问题的技能，并且增强数学素质。所以，在当前的数学教学中，应尤其注重数学思想的有效渗透及推广应用。

作为关键性数学思想之一，类比思想指的是通过一类事物的某种属性，来推理、猜测与之相似的事物也具备这样属性的推理方法之一。作为从特殊至特殊的一种推理方法，类比法的结论存在一定的或然性，究竟正确否必须通过严格的检验或实践证明。

作为思维极其活跃的一门学科，立体几何中存在大量的定理、公式，可以用于启发高中生展开创新思维。而通过类比思想，刚好能打破立体几何中的重难点内容，有效培养高中生的积极探索精神与自主创新意识。

此外，从平面几何发展至立体几何，其实就是高中生从二维平面一直在三维空间发生质的认知转变。针对平面几何中的一些结论及手段方法，均可以在立体几何中加以类比。譬如，从直线至平面、从直线交角至两平面角、从平行线至平行平面、从圆至球等。因此，在立体几何中，必须一直都注重类比法。

二、运用类比法来巧妙解决立体几何题

1.类比正三角形与正四面体的中心

已知，在相同球面上，存在点A，B，C，D，并且每两点之间均间隔2，那么球心与BCD平面之间的距离是（    ）

A.          B.       C.       D.

分析：针对这个题目，可以这样直接进行运算：如图，作AH⊥BCD平面，并且相较于点H。通过对称性知，ABCD四面体外接球里面的球心（也就是外心） O位于AH上面，并且BO=AO=半径R，BH2+ OH2= OB2，得出线段OH的长，也就是点D与BCD平面之间的距离。很明显，这样的解题过程显得十分冗长，并不可取。

根据平面几何领域的知识，知在正△中，边长a与高h之间的关系有：h=，O中心至四面体边的距离r=.而在ABCD中，从外心一直到底面的距离为r=.如果可以考虑类比法，并且记下以上两个数据，就能更快地解题。

2.对称类比法的应用

在二面角α-l-β里面，存在点P，且二面角为60°。在题目中，已知点P与α、β之间的距离依次是1、2。请在α上面找点A、在β上面找点B，并且迫使AB+PA+ PB具有最小的值，并算得具体的最小值大小。

分析：直接找点A、点B，有一定的困难度。而在平面几何中，通过对称法就能得出线段的最小和：已知在直线l同旁，存在点A、点B，试着在l上面，找到点P，得出PA+PB的最小值。就此，可以将平面α、平面β比作l，就能充分明确解题思路。

解：取点P与α、β之间的对称点P′、对称点P"，连接P′P"，假设P′P" 与平面α交于点A，与平面β交于B，

PA+AB+PB=P′A+AB+P"B=P′P"

==2，

所以，最小值就是2.

3.类比三角形面积和三棱锥体积的方法

如图所示，在一个S-ABC三棱锥中有盛水，但是在3条侧棱上面，分别存在有一个小小的洞，也即点D，点E，点F，并且SE：EB=SD：DA=CF：FS=2：I.如果还是通过这个容器来继续盛水，那究竟最多可以盛的水占原来多大的比例（   ）

A.           B.        C.       D.

分析：在以前学习的平面几何当中，存在有=的关系。以此为基础，推想可知在立体几何当中，究竟是否有=的关系。通过一番类比，知仅仅过点F，点C依次作SDE平面、SAB平面的高，就能发现并且证明存在有这种关系，也就是≈=.

答案：B.

三、结语

综上所述，在高中数学中，常常涉及到很多类比关系的内容。作为经常使用的数学思维方法之一，类比法的正确使用，能够起到化繁为简的作用，从而帮助高中生快速理清题意、更加轻松地解答立体几何问题。所以，在立体几何的日常教学中，数学老师必须引导高中生正确使用几何类比法，来明辨基本的几何概念，熟练记忆基本定理，并且巧妙地解答立体几何题，进一步增强空间想象与创新思考能力，以促进基础教育事业的进一步发展。

[ 参  考  文  献 ]

[1]王伟霞.类比在高中数学教学中的应用[D].河南大学，2015.

[2]向往.基于类比迁移理论的空间向量教学研究[D].湖南师范大学，2019.