基于数学学科核心素养的微专题教学研究

王洪军

摘 要：本文以高考试题为载体，阐述在教学过程中微专题的设置，以及如何落实数学学科核心素养，并对微专题教学的理解进行了简要论述.

关键词：微专题;学科核心素养;解析几何

1 引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力. 数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.”数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，它们既相对独立又相互交融，是一个有机的整体. 为培养学生的学科核心素养，我们需要在日常教学中转变传统的观念，在进行教学设计时，并不是对每一节课或每一个知识点进行教学设计，而是把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计，碎片化的数学内容无法把数学的本质表述清楚，更无法体现数学学科核心素养. 课程设计时可以以微专题的形式，把这些内容前后照应进行合理建构，在关注知识与技能的同时，思考知识与技能所蕴含的数学本质、体现数学思想，最终实现学生形成和发展数学学科核心素养的目标. 在教学中如何落实培养学生的数学学科核心素养是很多一线教师关注的问题.下面以高三复习时设计的一个解析几何微專题为例，作进一步的说明.

2 微专题案例分析与说明

案例 （2018年全国Ⅰ卷理科数学第19题）设椭圆C∶x2 2+y2=1的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

解析 第（1）题较为简单，这里不作考虑，只对第（2）题进行详细的探讨.

当l与x轴重合时，容易得到∠OMA=∠OMB=0.

视角1 当l与x轴不重合时，如图1所示，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1=my1+1，x2=my2+1，直线AM，BM的斜率之和为

说明 上述解法是论证这类问题的通法，在与学生互动交流中，他们很容易能够得到上述方法.从简化计算的层面上看，将直线方程设为x=my+1要比设为y=k（x-1）简便，如果仅仅是将上述结果告诉学生，他们的感触是不深刻的，只有亲自操作，才能得到更深刻的认识，这并不是毫无意义的浪费时间，而是积累受益终生的基本活动经验.

视角2 当l与x轴不重合时，待证命题有如下等价形式：

说明 微专题的设计要有全局观念，要打通知识模块之间的界限，尽量探寻更多的“工具”，创设关联的情境，引导学生由陌生问题向熟悉问题进行合理转化. 视角2更加突出向量作为“工具”在解析几何中的应用，我们知道，向量中的很多知识与解析几何是相通的，通过加强知识之间的联系，可以让学生获得更多的数学体验，提升数学素养.

视角3 当l与x轴不重合时，待证命题∠OMA=∠OMB点A关于x轴的对称点A′（x1，-y1）在直线BM上.

直线BM的方程为y2x-（x2-2）y-2y2=0，要证明点A′（x1，-y1）在直线BM上，等价于证明y2x1+（x2-2）y1-2y2=0，即证明y1（x2-2）+y2（x1-2）=0，由上述论证可知等式成立.

说明 解析几何中的一个难点就是蕴含繁杂的计算，通过题目确实能训练学生的运算能力，但是核心素养中所提到的“数学运算”不仅仅是会繁杂的运算，更重要的是如何简化运算，这需要我们在教学中培养学生具备更高的运算能力.基于此，相比于前两种算法，视角3利用对称原理更加简洁地转化为待证等式y1（x2-2）+y2（x1-2）=0.

视角4 当l与x轴不重合时，如图2所示，分别过点A，B作准线x=2的垂线，垂足分别为点C，D.

由AC//FM//BD，可得|AF| |FB|=|CM| |MD|.

由椭圆的第二定义，可得|AF|=e|AC|，|BF|=e|BD|，其中e为椭圆的离心率，因此，|AC| |BD|=|CM| |MD|.

进而得到△ACM∽△BDM.

所以∠CAM=∠DBM.

所以∠OMA=∠OMB.

说明 解析几何问题本质上是几何问题，把握问题本质，逐步引导学生拾级而上. 在用代数方法研究解析几何的同时，充分利用图形本身所具有的平面几何性质，常常可以得到简洁而优美的解答.实践证明，这样不仅会让学生认清问题本质，也使得对数学的兴趣进一步加强.

如果仅仅是“就题论题”总有意犹未尽的感觉，可以进一步引导学生抽象出问题背后所蕴含的一般性结论，发现题目中“变中有不变”的特性，这正是数学中提出新定理、新命题的常用手段，对于提高学生的数学素养大有裨益.

结论1 椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）的右焦点为F（c，0），过点F的直线与椭圆交于A，B两点，椭圆的右准线x=a2 c与x轴交于点M，则∠OMA=∠OMB.

说明 上面仅给出了一类焦点和相应准线的情况，其他同样成立，论证方法类似，限于篇幅，证明从略. 学生在论证上述结论的过程中可以进一步体会方法的通用性，真正做到举一反三、触类旁通. 对于程度较好的学生还可以引导其作如下进一步的抽象推广.

结论2 过椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）长轴上的一点N（t，0）（-a

说明 通过上面论述，可以更清楚地了解这类题目的来源，也可以总结出相应模型. 解析几何模型就是在学习的过程中，通过积累的知识经验经过加工所得到的有长久保存价值的典型结构，当遇到新的问题时，我们可以通过题目信息辨识它属于（或接近于）哪种模型，通过类比，提出有效的解决方案进而解决问题.

可以引导学生作进一步思考：椭圆与双曲线都是有心圆锥曲线，那么，在双曲线中是否也有类似的结论？

首先，可以指导学生从特殊实例入手，将案例问题改编为如下题目并论证.（证明略）

设双曲线C：x2 2-y2=1的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，点M的坐标为（23 3，0），设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

其次，用研究椭圆时类似的想法，让学生经历由特殊到一般的过程，并进一步启发他们以抛物线为背景独立进行相关的研究学习，通过积累经验和相关方法，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，而问题解决的过程正是培养学生能力，发展数学学科核心素养的过程.

3 对课堂教学的启示

数学教学活动是一个预设与生成相结合的过程，而预设的主要形式表现为以课时为单位的教学设计，对于合理把握每节课的数学教学活动的进程、优化数学教学活动具有重要意义，但其自身的不足之处也是显而易见的，容易使学生的知识结构割裂，不利于形成完整的知识链条和结构体系;也容易使一线教师拘泥于具体的“就课论课”，而忽略对教学整体的把握.微专题的教学设计更加注重知识内容的整体性、教学安排的整体性和对学生认知把握的整体性，将精心设计的多个微专题融合成单元主题，可以将教学内容置于主题整体内容中去把控，更多地关注教学内容的本质，拓展其教学视野并达到提高教学效率的目的，也会更好地培养学生的数学素养.

参考文献：

[1]史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-12-26）