近三年全国新课标Ⅰ卷中数列试题的分析研究

吕昊 濮安山

摘 要：数列模块是高中数学知识体系中非常重要的组成部分，纵观近三年全国新课标Ⅰ卷，数列试题一直是必考内容且占有较大比重.本文针对近三年全国新课标Ⅰ卷理科数学和文科数学试题中的“数列”考点和分值情况进行分析，找寻数列试题的命题特点和解题规律，并为应届考生备考复习提出一些建议.

关键词：数列;试题;命题分析;备考建议

2019年4月23日，江苏正式启动了新一轮高考综合改革.新的高考模式中，语文、数学、外语将采用全国卷，自2021届考生开始实行，而在过去的“08方案”下，江苏省所有学科采用自主命题试卷.因此为了积极应对高考改革新方案，研究全国卷命题特点并进行试题分析对2021届考生备考复习很有必要，数学作为一门重要的基础学科更是受到广大考生的高度关注.数列是高中代数知识的重要组成部分，《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数列是一类特殊的函数;是数学中重要的研究对象;是研究其他类型函数的基本工具;是反映自然变化规律的基本模型.数列涉及的数学基础知识、思想方法量多面广，常与其他数学知识紧密联系，同时也是将来学习高等数学的基础.

1 数列试题统计与分析

1.1 题型与分值分析

从统计表可以看出，全国新课标Ⅰ卷数列试题题型分布较稳定，理科数学以选择题和填空题为主，除了2017年为两道选择题，2018和2019年都是一道选择题加一道填空，每一年的总分值都是10分.文科数学以解答题为主，分值为12分，值得注意的是，2019年的文科数学卷除了一道解答题外，还兼有填空题，分值为17分.

1.2 考点分析

全国新课标Ⅰ卷数列试题所考查的知识点也相对较稳定，具体涉及到的数列知识点有：等差数列或等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式、求和以及与其他数学知识结合.试题考查的内容与方法注重基础，解题方法与解题技巧较为常见，讲究解题的通性通法.

1.3 难度分析

整体来看，全国新课标Ⅰ卷数列试题难度并不是很大，以容易题和中档题为主.通过分析数列题出现的位置可以发现，若是以选择题的形式考查，除了2017年理科Ⅰ卷数列选择题为第12题，其他都是出现在前9题，对考生來说较容易做对;若是以填空题的形式考查，无一例外的都是第14题，即填空题的第二题，难度也并不是很大，对考生来说也很容易得分;若是以解答题的形式考查，都是出现在解答题的第一题或第二题的位置，部分解答题最后一问与函数或不等式相关知识点结合，解题方法与技巧是考生较容易掌握的，仍然属于容易题.

对比近三年全国新课标Ⅰ卷理科数学与文科数学中的数列试题，理科试题难度整体上比文科试题难度稍大.理科以选择题、填空题为主，综合性强、思维跨度大;文科以解答题为主，侧重考查基础知识和基本方法.理科数列题的总分值往往都低于文科数列题的总分值，体现了“尊重差异，文理有别”的原则，充分考虑了文、理科学生能力的差异.

2 命题特点

对近三年全国新课标Ⅰ卷文、理科数学试卷中的10道数列试题进行分析后，可以发现数列试题重点考查等差数列和等比数列的相关知识，着重强调学生的基础知识、基本技能、基本思想方法，同时部分试题也体现了“坚持创新”的命题要求.总体来说数列试题的命题紧扣考试大纲，突出对学生数学核心素养的考查.

2.1 考查数列的概念和性质

常见命题方式：

（1）等差、等比数列的定义;

（2）判断是否构成等差或等比数列;

（3）等差数列、等比数列的性质.

例1 （2017年全国新课标Ⅰ卷文科第17题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求{an}的通项公式;

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列.

解析 （1）设{an}的公比为q.

由题设，可得a1（1+q）=2，a1（1+q+q2）=-6.

解得q=-2，a1=-2.

故{an}的通项公式为an=（-2）n.

（2）由（1）可得Sn=a1（1-qn） 1-q=-（-2）n+1-2 3.

由于Sn+2+Sn+1=-4 3+（-1）n·2n+3-2n+2 3

=2[-2 3+（-1）n·2n+1 3]=2Sn，

故Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列.

点评 本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式与求和公式.第（1）问先利用数列中前2项和前3项的和，计算出等比数列的首项和公比，即可得出其通项公式;第（2）问根据已得出的通项公式，利用等比数列前n项和公式直接写出结果，再利用等差中项的性质判断是否成等差数列即可，属于容易题.

2.2 考查数列的通项公式和前n项和公式

常见命题方式：

（1）求等差数列的公差或等比数列的公比;

（2）求数列通项公式;

（3）利用等差数列和等比数列前n项和公式直接对数列进行求和.

例2 （2017年全国新课标Ⅰ卷理科第4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）.

A.1    B.2    C.4    D.8

解法1 设等差数列的公差为d.

则a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24，

S6=6a1+6×5 2d=6a1+15d=48.

联立2a1+7d=24，6a1+15d=48，解得d=4.

解法2 由S6=3（a1+a6）=48，得a1+a6=16.

即a4+a3=16.

由已知a4+a5=24，两式相减可得2d=8.

即公差d=4.故选C.

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，属于容易题.解法1采用了常规的“基本量法”，此种方法虽然常用，但如果能灵活地运用等差数列、等比数列的一些性质，可以在一定程度上简便计算，例如解法2运用了等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，提高了解题速度.

例3 （2019年全国新课标Ⅰ卷理科第9题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则（ ）.

A.an=2n-5     B.an=3n-10

C. Sn=2n2-8n   D.Sn=1 2n2-2n

解析 设等差数列{an}的公差为d，则S4=4a1+6d=0，a5=a1+4d=5，解得d=2，a1=-3.

故an=2n-5，Sn=n2-4n.

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，属于容易题.根据题目中已给的条件，采用“基本量法”即可求解.

例4 （2019年全国新课标Ⅰ卷理科第14题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1 3，a24=a6，则S5= .

解析 设等比数列的公比为q，则a24=（a1q3）2=a6=a1q5.由a1=1 3得q=3.故S5=1 3（1-35） 1-3=121 3.

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于容易题.解题过程中涉及幂的乘方运算以及繁分式计算，因此除掌握数列“基本量法”解题技巧外，准确计算是解决此类问题的关键.

2.3 考查数列的递推公式

常见命题方式：

（1）根据an=〖HL（2：1，Z;1，Z〗S1， （n=1）Sn-Sn-1 （n≥2）〖HL）〗求数列通项，进而再对数列求和;

（2）判断或证明数列为等差数列或等比数列.

例5 （2018年全国新课标Ⅰ卷理科第14题）记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1，则S6= .

解析 〖JP4〗当n=1时，由S1=2a1+1=a1，解得a1=-1;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+1-（2an-1+1）=2an-2an-1，则有an=2an-1.

所以数列{an}是首项a1=-1，公比q=2的等比数列.

所以S6=a1（1-q6） 1-q=-63.

点评 本题考查数列的递推关系式、等比数列的定义与前n项和公式.解决此类问题需要掌握an与Sn之间的关系，即当n≥2时，an=Sn-Sn-1，以此得到数列{an}中相邻两项的关系，从而确定该数列是等比数列，再结合令n=1求出a1的值，根据求和公式求解即可，属于容易题.

例6 （2018年全国新课标Ⅰ卷文科第17题）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=an n.

（1）求b1，b2，b3;

（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由;

（3）求{an}的通项公式.

解析 （1）由条件，得an+1=2（n+1） nan.

將n=1代入得a2=4a1.

因为a1=1，所以a2=4.

将n=2代入得a3=3a2，所以a3=12.

从而b1=1，b2=2，b3=4.

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

由条件，得an+1 n+1=2an n.

又因为bn=an n，所以bn+1=2bn.

又因为b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

（3）由（2）可得an n=2n-1，所以an=n·2n-1.

点评 本题考查数列的递推关系式、等比数列的定义与通项公式.第（1）问根据数列的递推关系式，将n=1，n=2代入即可得到对应的a2，a3，从而得到b1，b2，b3的值;第（2）问根据数列递推关系式的转化与判定，并结合等比数列的定义即可判断{bn}是等比数列;第（3）问结合（2）的结果进行适当变形即可求解.对于像这样的既不是等差也不是等比的数列{an}，可以构造一个与之有关的等差或等比数列{bn}，从而通过{bn}这一中间“桥梁”很容易得出{an}的通项公式，此种求数列通项的方法需要掌握.本题属于比较常见的题型，整道题偏简单.

2.4 考查数列的前n项和求法

常见命题方式：

（1）错位相减法求和;

（2）裂项相消法求和;

（3）分组求和法求和.

纵观近三年全国新课标Ⅰ卷文、理科数学试卷中的10道数列试题发现，大部分考查数列求和的试题都可以直接用前n项和公式求解，并且均未涉及到错位相减、裂项相消以及分组求和法求和，但这并不意味这三种方法不需要掌握，这三种求和方法对考生有一定的技巧要求，尤其是错位相减法有不少易错点，考生平时应注重反复训练，提高计算的准确率和解题速度.

2017年全国Ⅲ卷文科第17题和2017年全国Ⅱ卷理科第15题考查了裂项相消法求和;2017年全国Ⅰ卷理科第12题创新性地将数列求和与推理结合，并作为选择题的压轴题出现，试题新颖且有一定的难度.

例7 （2017年全国新课标Ⅱ卷理科第15题）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则∑n k=11 Sk=.

解析 设等差数列{an}的公差为d，由题知a3=a1+2d=3，S4=4a1+6d=10，解得a1=1，d=1.