基于问题串教学的数学抽象思维的培养

黄涵 王圣荣

摘 要：直观和抽象是数学核心素养的两个重要内容，在直观中不断抽象形成高度概括的概念与方法，在抽象中找到直观的解决方法是培养学生形成两种核心素养的主要途径，衔接这两种核心素养的关键在于问题的设置，而问题串是提升学生认识的重要方法。

关键词：问题教学;直观想象;数学抽象

【中图分类号】G【文献标识码】B【文章编号】1008-1216（2020）02B-0084-02

新课程标准实施的不断深入，对数学教学提出了更高的要求。为了能够让学生更好地参与到课堂的教学中，涌现出了形形色色的教学方法，针对各种知识点的课堂引入，也会采取不同的其方法。在教学实践中，教师如果能够利用问题串引导的方法对知识进行引入和建构，可以让学生很快地养成课内动笔的良好习惯，从而更顺利地进入课堂的主题。

利用例题进行课堂引入，是在对学情分析的基础上，以本节课所要涉及的旧知识点为最初要求，通过问题引导学生，让学生通过回顾已经学过的内容及问题中所给出的提示，逐步过渡到本次课堂的教学目标，这是衔接新旧知识的有益方法。

“问题串引入”中的问题设置应遵循“就低不就高”的原则，由于是在课堂的引入部分，所以要尽量让班级的全体同学都尽可能地参与其中。如果课堂一开始不能吸引全班同学的注意力，将会直接影响到整堂课的效率，因此，课堂引入问题设置的成功与否，将会影响后续内容的安排与实施是否顺利。

一、直观呈现，抽象概念

“问题串引入”是按照学生的实际情况，分为“先概念后应用”和“先应用后概念”两种引入方式，由于想种方式对学生之前所学内容的依赖度不同，所产生的效果也不一样。例如，在“函数单调性”的教学过程中，“函数的概念”是基础，但单调性的定义却相对比较抽象，所以教师可以采用“先应用后概念”的方式，利用学生熟悉的二次函数为例题进行过渡。

例如：已知二次函数f（x）=x2-2x-3，求解下列问题。

（1）试作出该函数的图象;

（2）试观察图像判断：f（-1）、f（1）、f（4）之间的大小，并思考自变量的大小是否能决定函数值大小;

（3）试判断f（a2+2a+3）与f（2）之间的大小关系。

本题中，教师在例题中给出一些思路性的提示，第（1）小题是学生在初中常见的函数图像的绘制，主要目的是要学生回顾二次函数的做法，重拾这一重要知识点。第（2）小题着重要求学生观察图像，培养学生的看图能力。由于二次函数图像既有增区间也有减区间，所以教师在学生解题的过程中还可以给出适当的口头提示，将“线”化为“点”进行微观分析。如果能够利用幻灯片多展示几组函数值对比，让学生逐步观察出单调性的图像特征，会使学生对单调性中自变量与函数值的关系有初步的认识，为后续单调性概念的引入做了很好的铺垫，并为解答第（3）小题提供依据。

通过本题的“先应用后概念”式的问题串引入设计，能够在课堂的一开始就为学生打开一个研究单调性的途径——图像，让学生能够通过图像对单调性的内容进行研究。同时，由于在题目中给出了相应的方法，学生完全可以通过自己动笔，结合教师口头的提示来完成对问题的探究，从而对知识的学习能够有更好的体验。在后续的教学中，教师再通过图像的讲解和抽象函数的单调性应用，使学生把握单调性的性質，最终引导学生得出单调性的定义，如此，就能很自然地帮助学生建构起“函数单调性”的知识框架。

二、抽象指导，直观表达

另一种题组引入的方式是“先概念后应用”。这种方式对学生之前所学内容的依赖度较小，对学生的逻辑推理能力要求更高。比如，“任意角三角函数”概念的引入，曾经看到一位教师为了体现新课程理念，试图利用口头提示让学生在角的基础上引入平面直角坐标系以完成概念的过渡，结果没有成功。试想高一学生接受的训练有限，有几人能够形成解析几何的思想呢？即使学生说得出来，多数也是因为学生之前通过预习得出的结论，根本不符合大部分学生的实际认知规律。所以，在引入该概念时，完全不需要在坐标系的引入上纠缠，而应该直接将坐标系明确化，让学生能够通过已有的初中三角函数定义的坐标化，得出“任意角三角函数”的定义。

例如：如图（1），已知?ABC是直角三角形，且∠C=90°，AC=y，BC=x，求：

（1）试写出∠B的正弦、余弦和正切值;

（2）若在图（1）的基础上，以点B为原点，BC为x轴建立直角坐标系，试用坐标写出∠ABC的正弦、余弦和正切值，并观察所得结果与A点坐标的关系;

（3）根据（2）的结论，若在AB上任取一点P，确定坐标后所得的正弦、余弦和正切值是否发生变化，为什么？

（4）根据（3）的结论，如果Q（-3，2）的终边上有一点 ，你能否写出∠B相应的正弦、余弦、正切值;在坐标系中画出终边后，你能得出任意角三角函数的概念吗？

本题第（1）小题是在初中直角三角形中引入三角函数的方法，学生通过回顾直角三角形中的三角函数概念的构建，为后续三角函数的另一种形式的构建提供参照对象。第（2）小题提示语句较前一小题要多，因为从直角三角形向直角坐标系过渡对学生来说，属于平面几何与代数的整合，所以笔者认为应该在题目中直接给出提示，让学生将精力集中在对后续概念的建立上，而不是让学生花太多的时间纠缠在建立坐标系上。第（3）小题是对三角函数结论的进一步构建，让学生通过在终边上取点直接得到一个角的三角函数值。这三小题的结论中既有初中的结论，又有高中的结论。后题在包容前题的同时，又与前者有一定的继承关系，可以让学生在推理中摆脱初中概念的局限，又能够在直角三角形中正确地使用初中的知识，而这样的效果必须通过学生自己动笔体验才能取得。最后的第（4）小题是第一象限角向第二象限角的过渡，先用定义后作图能够让学生不被图形迷惑，直接利用定义得出结果，得出结果后再作图，逐步让学生形成概念拓展的方法。