充分暴露问题 引发深度学习

【摘要】本文以《除数是一位数的除法》为例，通过充分暴露计算教学中出现的问题，提出让学生经历算法多样化、构建一般性算法、构建合理化算法和形成所有除法计算通法等教学过程，引发学生深度学习，理解算理，掌握算法。

【关键词】小学数学 计算教学 深度学习

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）05A-0067-04

一直以来，在计算教学中理解算理和掌握算法是非常重要的两个核心目标。算理就是计算的理论依据，其内涵包括数与运算的意义、运算的規律和性质，也就是解决“为什么这样算”的问题。算法就是计算的方法，其内涵是由已知推出未知的程序，即解决“怎样算”的问题。算理为计算提供了正确的思维方式，确保了计算的合理性与正确性。算法为计算提供了规范快捷的操作方法，促进了计算速度的提高，是解决一类问题的有效处方。

那么，如何将理解算理和掌握算法一起落地？又让学生真正经历算法构建的过程，实现算理与算法的内在统一？下面以三年级下册《除数是一位数的除法》为例，谈谈如何设计教学流程，让学生在掌握算法的同时理解算理。

一、自己想办法算，展现多样化的算法

师：咱们原来学过表内除法的简单计算。而这个除法算式（板书42÷2）用乘法口诀表已经不能直接算出来了，怎么办呢？老师准备了一些小棒，你们可以借助小棒分一分，也可以用画一画的方法，还可以用算式表达的方法来计算。要求让大家一眼就明白你是怎么算的。现在，请你们自己想办法计算吧。

（学生开始尝试独立解决，教师巡堂指导）

师：看来很多同学都已经解决了这个问题。谁愿意来分享自己的解决方法？

生1：老师，我是用分小棒的方法来解决的。我先分整捆的小棒，4捆平均分成两份，每份就是2捆，然后再把剩下的2根小棒平均分成两份，每份是1根。把2捆和1根合起来每份都是21根小棒，所以42÷2=21。

师：先分整捆再分零散的，这位同学用分小棒的方法解决了问题，还有哪些同学也是采用分小棒的方法呀？（部分学生举起了手）

师：还有其他方法吗？

生2：老师，我用的是口算的方法。我把42分成40和2。先算40÷2=20，再算2÷2=1，然后把两次计算得到的商加起来，就得到了最后的结果：20+1=21。

师：口算也是先算整十数，再算个位数。还有哪些同学也是采用口算的方法？（部分学生举起了手）

师：还有不同的方法吗？

生3：老师，我是用除法竖式来计算的。

师：你还记得除法竖式这种计算方法？太好了！我们在二年级学习表内除法中“有余数的除法”时学过除法竖式计算。请把竖式计算方法说给大家听听吧。

生3：我先算十位，十位4除以2等于2，写在十位上;再算个位，个位2除以2等于1，写在个位上。

师：除法竖式也是先算十位再算个位？

生3：是的。

师：请问，为什么十位上除得的商要写在十位上，个位上除得的商要写在个位上呢？

生3：你看刚才那个同学分小棒，先分整捆，4捆平均分成两份，每份是2捆，如果写到个位，2捆不就变成2根了吗？（全班学生哈哈大笑）

师：我明白了，你的意思是十位上除得的2表示的是2个十。

生3：对！个位上除得的1表示的是1个一。

师：老师还有一个地方不明白，你的除法竖式里面出现了两个42，为什么要写两个呢，写一个不就行了吗？

生3：这两个42表示的意思不一样啊！上面这个42是被除数里要用来分的，下面这个42表示分完了的，在除法竖式里把分完的数量也要记录下来，这样就不会遗忘了。

师（连连点头）：是啊，好记性不如烂笔头，这样记录下来确实一目了然。

生4：老师，我也是用除法竖式计算的，但是和他的有点不一样。

师（惊讶）：不一样的除法竖式？那请把你的除法竖式也展示出来，给我们瞧瞧哪儿不一样！

生4：我也是先算十位再算个位，跟他的相比，我把每一步的计算过程都在除法竖式中清楚地表示出来了。

师：大家仔细看看，有什么疑问吗？可以向他提问。

生5：你把个位上的2移下来了，为什么要移下来呢？

生4：我是分两次算的，第一次算十位上的4除以2，算完十位接下来算个位。如果不移下来，别人就看不出我究竟是一次算完的还是分两次算的。

师：意思是第一根横线上的部分表示的是第一次计算？

生4：没错！第二根横线上的部分表示的是第二次计算。

学生二年级学习表内除法时接触过一次笔算除法，将表内口算除法转换成竖式格式，当时仅仅是让学生初步知道除法还有另一种书写格式，至于为什么要写成竖式格式，学生一无所知。

这节课是学生第一次学习表外的笔算除法，也是真正意义上的笔算除法的学习。教师没有急于教给学生正确的计算方法，而是放慢脚步，采用开放的教学方式，将除数是一位数的笔算除法“如何计算”作为一个迫切需要解决的实际问题呈现在学生面前，放手让学生用自己喜欢的方法来尝试计算，教师仅要求“你的方法要让大家一眼就能看明白你是怎么算的”，这样一来，逼着学生自己面对一个陌生的情境，充分调动所有的知识经验来解决这个问题。

学生自主探究之后，呈现出了多种多样的算法：有借助小棒摆一摆的，也有口算的，还有列不同竖式算的。这些解决方案都是学生用自己原有的知识经验为背景进行推理或迁移的结果，都是学生经过深度思考之后的个性呈现。这个过程，学生获得了学习的主动权，思维得到充分激发，个性得到张扬，自然成了知识的发现者、探寻者和研究者。既有效地避免了计算教学的“少义”“无趣”的尴尬，又让学生在交流中感受数学计算的多彩、神奇、严谨、简洁等。

二、观察比较，构建一般性的算法

师：同学们真聪明！解决除数是一位数的计算问题，一下子就能想出四种方法。无论是摆小棒还是口算，或者是列竖式计算，我们都是先算十位再算个位，这四种方法计算的顺序都是一致的。那么，这四种计算方法，你更喜欢哪一种，为什么？

生1：我喜欢用分小棒的方法，因为很简单。

生2：分小棒的方法一看就明白。

生3：我觉得分小棒的方法虽然很简单，容易看明白，但如果被除数变大了，哪有这么多小棒给我们分呀？

师（微笑着）：大家认为呢？

生4：對呀，被除数变大了，只怕要用火车运小棒。（学生哄堂大笑）

生5：我喜欢用口算的方法，算起来非常快，所以我觉得没有必要列竖式计算了。

生6：如果数不大，口算确实很方便。如果数很大，口算根本就算不出来。

生5：噢，对噢。

师：是啊，看来摆小棒和口算的方法只能适用于比较小的数，遇到比较大的数时，摆小棒和口算的方法确实不合适，那就要用到列竖式计算了，列竖式计算被除数再大也没关系，咱们把除号画长一点儿就行了嘛！那么问题又来了，黑板上这两种列竖式计算的方法，你们更喜欢哪种？

生7：我喜欢第一种竖式，更简单。

生8：我也喜欢第一种，非常清楚。第二种写起来很麻烦，浪费时间。

生9：我喜欢第二种除法竖式，因为能让我们看出怎么算的，算了几次，计算的过程记录得非常清楚，这样比较容易检查，不易出错。第一种虽然是分两次算的，要是自己不说，人家是看不出来的。

生10：对，第一种除法竖式看起来像一次算完的。

师：我们来把大家的意见综合一下，简单的除法……

生（齐）：摆小棒或者口算。

师：对！简单的事情简单做。复杂的除法就……

生（齐）：列竖式计算。

师：关于列竖式计算，我们产生了两种意见。第一种竖式写法简单，但是看不出计算的过程;而第二种竖式写法虽然麻烦，但是计算的过程很清楚。

生（齐）：对！

师：既然对于竖式计算应该怎么写，大家各执己见，谁也说服不了谁，且觉得两种意见都各有道理，那老师现在请大家再来完成一道除法计算题，都列竖式计算，喜欢第一种写法的就用第一种，喜欢第二种写法的就用第二种。

在计算起始课教学过程中，教师依托课标，借助教材，让学生直面一个全新的“如何计算”的问题，学生由于认知水平和思维方式存在个体差异，对于同一个问题，往往会有基于个人理解的不同计算方法，这也凸显了学生的不同个性。教学中，教师特别重视这种散发着智慧光芒的差异，并且巧妙利用这种差异，遵循从具象到抽象的顺序，有意识、有层次地引导学生交流自己的真实思考，给予学生基于独立思考的观点与想法激烈碰撞思维火花的机会，进行充分的生与生、师与生之间的对话交流，让学生一一体验和理解不同计算方法的思维过程，逐一感悟支撑每种方法背后的算理，可以有效地拓宽学生的视野，开阔学生的思维。所谓见多识广，长期坚持，解决问题策略的方法多样性才不会局限于群体的思维，而必将绽放于个体思维。

在此基础上，再通过观察比较、交流评价以及引导学生参与该问题和现象的层层剖析，设想出每种算法可能面临的种种情形，发现和领悟各种算法的优势与劣势，得出“简单的除法可以直接用摆小棒和口算，复杂的除法用列竖式计算”这一理性结论，从而形成具体问题具体分析的科学思路，并将学生的学习思考引向探究“除法竖式如何写”的更深层次。

三、改变问题的情境，构建合理化的算法

（师出示除法算式52÷2=    ，学生独立计算）

师：大家算完了吗？说说你是怎么算的？

生1：我用的是第一种列竖式计算的方法，先算十位，用十位上的5除以2，商2，2×2=4，表示分完了4个十，还余1个十。

生2：我有疑问！你刚才说的分完4个十，余下的1个十在竖式里面根本就没有看到啊？

生1：我是记在心里的！

生2：竖式里面看不到你说的计算过程，记在心里这不就是口算了吗？

生1：可是我能记住啊！

生2：老师说了，采用的方法要让大家“一眼就能看明白你是怎么算的”，我就看不明白。

生1：……

师：看来，这种竖式的写法因为没有完整体现出计算的每一步过程，所以大家不能一眼看明白。那谁的除法竖式可以完整地呈现计算的每一步过程？

（很多学生高高地举起了手）

生3：请大家看我写的除法竖式。我是先算十位，用十位上的5除以2，商2，这个2表示2个十，写在商的十位上。2×2=4，表示已经分完了4个十，还余1个十。

师：十位有余数了，怎么办？

生3：有余数没关系的，可以把十位上的余数和个位上2合起来看成12，再继续除，12除以2商6，这个6表示6个一，所以写在商的个位上，2×6=12，刚好分完，没有剩余，所以最后余数的位置写0，表示算完了。

师：十位上的1为什么要和个位上的2合起来？

生3：我们可以用摆小棒来辅助计算，5捆小棒平均分成2份，先拿出4捆，每份分得2捆。剩下的1捆要拆散，变成单根的10根，与原来的2根合在一起，一共12根，再继续分下去。

生5：我来帮你回答！如果不管十位上的1，不跟个位上的2合起来，那我们算的实际上是42÷2，而不是52÷2了！

生（齐）：对！

师：咱们再来比较一下这两种除法竖式计算的写法，你更喜欢哪一种？

生6：肯定喜欢第二种了！每一步的计算过程清清楚楚，明明白白！

生7：我原来是喜欢第一种竖式写法的，但是我发现那种方法遇到十位上有余数的，就没办法算了，我也改变主意了。（同学们纷纷点头表示同意）

师：还有同学坚持喜欢第一种竖式写法吗？（只有生1一人举手）

生1：我还是喜欢第一种，写起来比较简单，我自己心里能记得住。

师：嗯，适合自己的就是最好的方法，非常欣赏你的执着和自信！但我们也要学会接纳更科学的方法。老师觉得分层表示计算步骤还有个重要的作用，便于回头一步一步对应检查核对。

刚学习笔算除法时会出现一种情况：学生都普遍采取“一步算到位”的方法，也就是上述片段中第一种竖式的写法。很多教师不解：课堂上已经说得清清楚楚，要一步一步计算，可最后写的时候为什么还是错误不断呢？究其原因，其实很好理解。人都是趋利避害的，谁都不喜欢麻烦，因为第一种竖式的写法比较简便，学生出于本能理所当然会选择简便的写法，没有体会到第二种竖式写法的妙处和作用，所以不会舍近求远。甚至有学生说：要不是老师规定一定要写竖式，我才懒得写呢，我口算就能算出来的题，干吗还费神写竖式呢！

没错，对于“42÷2”这种类型的口算除法来说，两种不同的竖式写法，并没有明显的优劣。正因为“42÷2”的计算毫无难度，其作用主要是让学生通过类比，知道表外除法其实也可以像表内除法一样写成竖式的形式，它是除法竖式即将展现其强大功能的一座不可缺少的桥梁。而“52÷2”的出现，有效地阻断了“一步算到位”的可能。

数学学习最大的特点是什么？从易到难，由浅入深，举一反三，触类旁通。为了让学生能充分感受除法竖式写法的合理性，教师抓住时机主动示弱，向学生请教“十位上有余数了，怎么办？”“十位上的1为什么要和个位上的2合起来？”两个关键的问题，就是让学生借助分小棒的数理，迁移到除法竖式的算理辨析中，从而亲身体会到分步记录除法过程的重要意义在于“一眼就能看明白你是怎么算的”，让原来喜欢第一种写法的学生也体会到“简单写法”的不足，两相权衡，转而认同合理化的书写格式。这一过程不正是我们想要的笔算除法竖式书写规范得以形成的轨迹吗？也是算理感悟和算法表达的有机结合的有力证明。

四、再改问题情境，形成所有除法计算的通法

师：现在请大家用自己喜欢的列竖式方法再来算一道题好吗？（板书：256÷2=）

师：都算完了吗？谁能展示一下自己的计算方法，不用解说，看大家能否一眼看明白。

生1上台展示自己的竖式计算：

生2：根本不用解说，大家都能看懂！你是分三步来算的：先算百位，再算十位，得出十位有余數，第三步将余数与个位上的数合起来再继续除。

生1：你说对了！

师：其实，数学是一种思考、表达和交流的语言，这种列竖式计算的方法将思考过程表达得非常清楚。

生3：老师，以后遇到被除数是四位数、五位数、六位数等除以一位数的除法，用这种列竖式的方法我们全都会算了，您都不用再教了！

师：真的？给大家说说怎么算？

生3：从左边开始，一位一位地除下来就行了。

师：同意吗？

生（齐）：同意！

师（竖起大拇指）：你们好棒！

师（问那个坚持喜欢第一种方法的学生）：你用自己喜欢的方法把这道题算出来了吗？能不能给大家看看你是怎么算的？

生4（害羞地）：数太大了，算不出来了。

师：那要是遇到刚才大家说的被除数是四位数、五位数、六位数的情况会更复杂，更不好算了。

生4：是的，我现在觉得还是大家的这种方法好，不管数字大小，都可以算出来。

师：说得太好了！我们终于找到了一种可以解决所有除法计算问题的好办法——列竖式，计算时一步一步从高位算下来。现在请大家打开课本第17页，看看书本上是怎么算的。

生5：老师，书本上的笔算方法居然跟我们的方法一模一样。

生（齐）：真的，太巧了！

师（笑）：前人总结得到的经典算法，今天居然被我们亲自发现了，这叫英雄所见略同。

从以上课例中我们不难发现：整节课不过只做了三道题，其中第三道题原本是下节课的教学内容，但为了让那个执着的学生彻底放弃自己错误的观点，并心服口服，教师临时将其提前到本节课来了，如果这个学生仍旧坚持，估计要出示四位数除以一位数的计算题继续探究。三道题，三个层次，在理解算理的基础上不断优化算法，步步登高，让学生在一课三练三研究的慢节奏尝试体验中，充分探究、理解、交流、体验，然后集中火力，攻克笔算除法教学的重难点，发现知识内在的本质，每一次尝试之后，都回过头来进行反思，在反思中获得解决问题的经验和教训，并最终达成共识，成功建构能解决所有除法计算的竖式写法。

总之，通过构建算理和算法相融的计算课堂，让学生在算法的探究中主动思考其中的算理，在理解算理的基础上形成有理有据、精彩纷呈的各种算法，在变化的情境中感知不同算法的局限性和优越性，完整地经历了笔算除法的形成过程，最终发现、探寻、研究得出解决一类问题的通法。这才是计算起始课教学中真正意义上的深度学习。

作者简介：李何英（1975— ），女，广西南宁人，研究生学历，一级教师，南宁市学科带头人，主要研究方向：小学数学教育。

（责编 林 剑）