探究“转化法”构造函数求证不等式的策略

◇ 甘肃 王会军

利用“转化法”构造函数求证不等式是指通过构造函数,将不等式问题转化为函数的单调性问题进行处理,从而降低难度,使问题得以求证．

1 求证一元不等式问题

g′(x)=ex(f(x)+f′(x)-1),

结合f(x)+f′(x)>1,可知g′(x)>0,因此函数g(x)=ex(f(x)-1)在定义域R上单调递增．而exf(x)>ex+1可变形为ex(f(x)-1)>1,由于f(0)=2,可知

e0(f(0)-1)=1×(2-1)=1,

由此可用e0(f(0)-1)代替1,所求不等式就变成

ex(f(x)-1)>e0(f(0)-1).

由于g(x)=ex(f(x)-1)在定义域R上单调递增,所以易知当x>0时，ex(f(x)-1)>e0(f(0)-1)必成立.

综上,exf(x)>ex+1的解集为(0,+∞)．

2 求证双变元不等式问题