圆内接四边形的性质与判定定理的应用

◇ 山东 王从强

圆内接四边形的性质与判定定理是高考中常见的考点,试题中常利用该定理,结合平面几何知识,通过计算、证明等方式来达到考查的目的,有助于学生体会几何直观能力在解决问题中的作用,有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力.

1 角度的求解问题

利用圆内接四边形的性质与判定定理,可以构建角与角之间的相等、和式等关系,结合相关条件求解对应的角度问题.

图1

A. 150° B. 80°

C. 100° D. 130°

2 线段的证明问题

圆内接四边形的性质与判定定理可以用来证明角相等的问题,而结合三角形的全等等其他几何性质,又为证明线段相等提供了一种方法.

图2

图3

3 共圆的证明问题

根据圆内接四边形的性质与判定定理、相应平面几何中的定理与性质,通过边、角的对应关系结合等量代换等数学思维来证明相应的线段或角度关系,从而证明四点共圆等问题.

图4

(1)证明:B,D,H,E四点共圆;

(2)证明:CE平分∠DEF.

证明(1)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°,因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°,于是∠EHD=∠AHC=120°,因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.

(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°,由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°,又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°,所以CE平分∠DEF.