“平行四边形面积”之难

郜舒竹

【摘   要】通常“平行四边形面积”的教学，是将平行四边形通过剪拼，转化为长方形，进而运用长方形面积公式推导出平行四边形面积公式。事实上，表面看平行四边形与熟悉的长方形十分相像，其实其中蕴含着认知上的差异，这样的差异会成为深入理解的障碍，挖掘这样的差异并融入学习活动设计，可以让学生有机会体验用透视、关联和运动的眼光看待事物。

【关键词】平行四边形;长方形;面积;稳定性;协变

学科课程教学改革期望“变教为学”，将以教师教的活动为主的课堂教学，改变为以学生学习活动为主的课堂教学，其中一个需要研究的问题是：如何为学生的学习设计活动？任何自主性的学习一定是以学习者已有知识或经验为基础的，这样的知识或经验对新内容的学习可能产生积极的正面作用，也可能产生消极的负面作用。

因此，教师在备课中需要思考的一个问题是：对新内容学习产生影响的已有知识或经验究竟是什么？这样的影响是正面的积极作用，还是负面的消极作用？

一、貌似容易

以“平行四边形”为例，数学课程中与之最为接近的已有知识和经验自然应当是“长方形”。二者进行比较，许多方面都有相同和相近之处。从形式上看，都是四边形;从特性上看，都满足“对边平行且相等”。鉴于这样的相同或相近，往往会感觉平行四边形以及相关内容的学习并不困难。

事实上，貌似容易的内容往往蕴含着更大的困难。表面看相同或相近的对象，如果仔细挖掘，会发现二者其实存在着巨大差异，这样的差异就会成为学习过程中理解的难点。

众所周知，长方形面积公式是“长[×]宽”，直观上看就是相邻两边长度的乘积（见图1）。

如果把平行四边形看作是长方形拓展出来的，形式上相近并且相像的图形，基于长方形的经验，自然的想法是：

l平行四边形面积也应当是相邻两边长度的乘积。

因此对于平行四边形面积的学习，首先需要对这个想法进行探究，通过辨析的活动否定这个想法。这种辨析就是要回答如下问题：

l一般的平行四边形与长方形究竟有哪些不同之处？

二、透视的眼光

透视（Insight）的眼光指的是由表及里地看待事物，不仅关注表面，而且能够透视出感官所观察不到的内容。相对于长方形，一般的平行四边形形式上看是“歪”的，通过表面的“歪”，可以透视出平行四边形与长方形在“确定性（Certainty）”方面的差异。

这里的确定性，指的是构成平面封闭图形的各条边，其长度一旦确定，图形的形状以及面积大小也随之确定。对于长方形而言，长和宽的长度一旦确定，则长方形的形状和面积大小随之确定，因此长和宽的长度就成為确定长方形形状和大小的因素。

而一般的平行四边形并不具备这样的确定性。比如图2中两个平行四边形，对应边的长度都是相等的，但其形状和面积大小都有差异。

这说明，平行四边形的形状和大小，与其各条边的长度不具备确定的因果关系。正是一般平行四边形面积大小与形状的不确定性，使得平行四边形面积不能表达为相邻两边长度的乘积。

一般平行四边形与长方形第二个差异，反映在面积与其一条边长的协变关系方面。这里的“协变（Covarience）”指的是，图形面积大小与其一条边长具有同增或同减的关系。比如对于长方形，如果一条边长增加，那么面积一定随之增加。不仅如此，长方形面积与其一条边长还具有正比例的协变关系，也就是说，如果长方形一条边长扩大为原来的几倍，另外一条边长不变，那么面积也随之扩大为原来的几倍。而一般的平行四边形不具备这样的协变关系（见图3）。

图3中两条平行线L1和L2之间有两个宽度相同的平行四边形，左侧平行四边形AB边，对应右侧平行四边形CD边，而且CD>AB，但两个平行四边形面积相等。也就是说，平行四边形的一条边长增加，其面积可以不变，甚至可能减小。

这就说明一般的平行四边形面积不具备与其一条边长同增或同减的协变关系。进一步说明了平行四边形面积大小并不由边的长短所确定。从另一个角度回答了“为什么平行四边形面积不能表达为相邻两边长度的乘积”。

三、关联的眼光

有了上面的认识，接下来的问题是：如何看出等底等高平行四边形与长方形面积之间的关系？教科书中通常的方法是，通过剪拼和移补，将平行四边形等积变换为长方形。下面介绍另外一个方法。图4中两条平行线L1和L2之间，ABCD为长方形，EFGH为平行四边形，二者等高且DC=HG。

这个梯形原本没有，是人为识别出来添加到问题情境中的，这样的思维方式通常叫作“转换推理（Transformational Reasoning）”。如果将长方形ABCD与这个梯形合并为一个图形看，就可以得到一个更大的梯形AEHD（见图6）。

同样可以将梯形BEHC与右侧平行四边形EFGH合并，得到另外一个更大的梯形BFGC（见图7）。

对比两个梯形AEHD和BFGC，不难看出二者形状和面积大小都是一样的。而中间梯形BEHC是二者公共部分，依据“等量减等量仍相等”，就可以看出长方形ABCD和平行四边形EFGH面积相等。

事实上，长方形和平行四边形面积是否相等，并不是由边的长短决定的，而是由相同位值横截出来“宽度”（图8中用字母a表示），以及高度（图8中平行线L1和L2之间的垂直距离）决定的。

运用这样的转换推理，还可以得到更一般的结论。事实上，任意两个图形只要符合高度和宽度相等的条件，其面积都是相等的（见图9）。

图9中ABCD是一个长方形，EFGH是一个曲边图形，由于二者高度和宽度相等，那么长方形ABCD与曲边图形EFGH面积相等。这样的事实，可以从图10直观地看出来。

相同数量的小长方形分别摆放为图10形状，虽然摆放方式不同，由于相同位值的宽度以及高度相等，那么二者的总面积一定相等。同样道理，图11中三个曲边图形面积也是相等的。

直观地看，整个图形面积就是所有宽度“c”积累出来的，由于对应位置的宽度都相同，自然积累出来的总面积也应当相同。

四、直观感知微积分

这样的事实，是意大利数学家卡瓦列里（Franeesco Bonaventura Cavalieri，1598-1647）最早发现的，后人称之为“卡瓦列里原理（Cavalieris Principle）”，也可以认为是“微积分”在几何中的直观表达。

牛顿（Isaac Newton，1643-1727）发明的微积分早期叫作“流数法”。其中“流数（Fluxion）”和“流量（Fluent）”是两个核心概念。前者相当于运动的速度，后者相当于运动的距离。比如一个长方形ABCD，按照“線动成面”的眼光看，可以把这个长方形看成是一条运动线段EF沿着垂直于它的方向从AB位置运动到CD位置所留下的轨迹（见图12）。

图12中运动线段EF的长度a就是这个运动过程中的流数，扫过长方形ABFE的面积ax是这个运动过程中的流量，其中的x相当于运动过程中的时间变量。当线段EF运动到CD位置时，流量ax就成为长方形ABCD的面积了1。

图11中，宽度c相当于流数，高度h与宽度c的乘积相当于流量。整个图形面积被看作是所有位置的宽度c积累出来的。

论及流数法的基本原理，牛顿在其名著《流数法与无穷级数》的前言中说：“可以把数学中的量看作是连续的局部运动产生出来的。”[1]在几何形体的求积（Quadrature）问题中，“数学中的量”就是描述长短、大小的长度、面积和体积。牛顿这种运动的眼光实质上是改变了欧几里得《几何原本》中“积点成线，积线成面，积面成体”的看法，把几何形体看成为“点动成线，线动成面，面动成体”。因此可以说，小学数学中关于长度、面积、体积的内容中，实际蕴含着牛顿流数法中“运动”和“积累”的思想，应当成为让学生感悟的内容。

综上，貌似容易的“平行四边形面积”的学习，不仅是公式的推导和应用，还应当让学生经历与已有经验中的长方形进行比较的过程。在经历这样的过程中，学生有机会体验用透视的眼光、关联的眼光和运动的眼光看待事物。

参考文献：

[1] Isaac Newton. The Method of Fluxions and Infinite Series[M]. LONTON. Printed by Henry Woodfall. M.DCC.XXXVI. pxi.

（首都师范大学初等教育学院   100048）