赏析高考中考查不等式的几种常见背景

邵凤梅 邱 娜

不等式是高中数学的重要内容,也是高考的重要考点,但从命题形式来看,常以函数知识、生活实际问题为背景,考查不等关系的判断、不等式的解法、不等式的应用、不等式恒成立以及不等式的证明等．

1 以函数性质为背景考查不等关系的判断

利用函数的单调性是判断不等关系的重要方式,如:函数f(x)在区间D内为增函数,且a,b∈D,若a>b,则f(a)>f(b);若f(a)>f(b),则a>b．据此可建立不等关系,并对变量值或函数值的大小进行判断．

2 以生活问题为背景考查不等式的应用

来源于生活、应用于生活是数学核心价值的体现,应用题是考查考生数学核心素养的重要形式,因此,与不等式相关的应用题是高考命题的常见方式．

3 以导数为背景考查不等式的解法

解不等式就是求不等式的解集,常见的不等式有指数不等式、对数不等式、三角不等式、一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式等．直接考查解不等式的问题较少,常与导数的应用问题结合考查,即在某区间内函数f(x)的导数f′(x)>0(f′(x)<0),则f(x)在该区间内单调递增(单调递减).求函数的单调区间,即为求不等式f′(x)>0(f′(x)<0)的解集．

f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

当a=0时,在(-∞,+∞)上f′(x)≥0,f(x)单调递增.

4 考查不等式的证明或恒成立问题

求解不等式恒成立问题与不等式证明问题的本质相同,都是构造函数,将问题转化为求函数的最值．但不等式证明的构造方法更为灵活,除了常规方法外,还可以采用局部处理或放缩处理．

(1)求a的值;

(2)求证:f(x)>-1．

(2) 由(1)知,f(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1,x∈(0,+∞),则可令

g(x)=2xlnx,h(x)=-lnx+x-1．

总之,高考命题常考常新,不等式的考查类型并不局限于此,笔者提出以上几种考查视角,以期对同学们复习不等式有所帮助．