隐形的圆

文 康叶红

圆是平面几何中的基本图形之一。它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习其他数学知识的重要基础。有些数学问题看似与圆无关，但如果我们根据题目中的已知条件，巧妙地构造辅助圆，再利用圆的有关性质建立起已知条件与结论之间的联系，往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果。现选取中考试题中一些“隐圆”问题加以剖析，与同学们一同感受圆的魅力。

例1（2018·江苏南京节选）如图1，在四边形ABCD中，∠C=2∠BAD。O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD。求证：∠BOD=∠C。

【分析】本题中已知OA=OB=OD，可自然联想到圆的定义：到定点距离等于定长的点的集合。我们便容易想到构造以点O为圆心，以OA为半径的⊙O，根据圆周角的性质，问题迎刃而解。

证明：∵OA=OB=OD，

∴点A、B、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上，

∴∠BOD=2∠BAD。

又∠C=2∠BAD，

∴∠BOD=∠C。

【总结】当题目中出现有相同公共端点的三条相等线段，可根据圆的定义，构造辅助圆。

例2（2016·江苏淮安）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点。将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是____。

【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算，掌握折叠的性质，找到点P到边AB距离最小的位置是解题的关键。如图3，当点E在边BC上运动时，PF的长固定不变，即PF=CF=2。所以，点P在以点F为圆心，以2为半径的⊙F上运动。过点F作FH⊥AB交⊙F于点P，垂足是点H。此时PH最小，则△AFH∽△ABC，所以。由已知得AF=FH。所以，点P到边AB距离的最小值是PH=FH-FP。

【总结】当题目中出现定点和定长，可根据圆的基本定义：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心，定长为半径的圆，来构造辅助圆。

例3（2017·山东威海）如图4，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________。

【解析】如图5，由△ABC为等边三角形可知：AB=BC=CA=2，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°。因为∠PAB=∠ACP，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠ACP+∠PAC=60°。又因为在△APC中，∠ACP+∠PAC+∠APC=180°，所以∠APC=120°。即点P在以AC为弦，圆周角∠APC=120°的⊙O上。因此，以AC为边向外作等边三角形，并作等边三角形的外接圆⊙O，当O、P、B三点共线时，即点P在点P′时，BP′最小。所以

【总结】当题目中出现一条定线段和定角时，如图6（定线段AB和定角∠APB），可以定线段为弦，定角为圆周角构造辅助圆。特殊地，当定角∠P=90°时，根据90°的圆周角所对的弦是直径，则定线段就是圆的直径。