由圆周角例题谈解题策略

文 赵 丹

圆自身的旋转不变性让圆中的计算呈现灵活多样性，圆中的角度、半径问题是中考考查的热点。由于圆周角、圆心角、弧度数之间的关系，再加上弦、弧、角之间的灵活转化，为角的计算提供了不同方法。本文从有关圆中角的计算问题出发，在不同图形中结合条件寻找不同的解题方法，优化圆中角的计算。

一、借助圆的轴对称性（垂径定理）

例1如图1，AD是半圆的直径，点C是的中点，∠ADC=55°，则∠BAD是多少？

【解析】由点C是的中点，联想到垂径定理，连接OC、BD可得OC⊥BD。方法1：借助等腰△COD，可得∠OCD=55°；由OC⊥BD，得∠CBD=35°，则问题解决。方法2：借助圆内接四边形对角互补，求得∠ABC=125°，可得∠CBD=∠CDB=35°，∠ADB=20°，可得∠BAD=70°。

【延伸】如图2，AB是⊙O的直径，C为上一点，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC、CD，那么∠ACD=______。

【解析】本题方法较多，现提供垂径定理的一种方法。作OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，连接OD，可得∠AOE=∠DOE，∠COF=∠DOF，则∠EOF=65°。在四边形EOFD中，可得∠EDF=115°。在△ADC中，可以求出∠ACD=40°。

【点评】利用圆的轴对称性解决角度问题也是一种解题策略。利用对称性构造垂径定理的基本图形，借助对称性得到角的大小，进而实现解题。

二、借助隐圆

例2已知△ABC，AB=2 3，O是三角形内部一点，且OA=OB=OC=2，求∠ACB的度数。

【解析】方法1：看到OA=OB，即有等腰三角形，AB=2，想到作AB的垂线，可求得∠AOB=120°，再利用三个等腰三角形，借助△ABC的内角和来求。方法2：看到 OA=OB=OC，想到了外接圆，借助圆周角与圆心角的关系可以快速解决此题。

【延伸】在等腰△ABC中，CB=AC，∠ACB=70°，点P在△ABC的外部，且与点C均在AB的同侧，如果PC=BC，试求∠APB的度数。

【解析】看到CA=CB=CP，联想到定长；由∠ACB=70°，联想到定角。看到定长定角问题，我们便联想到圆，可以看作是以C为圆心，以CA长为半径的圆，直接可得∠APB=35°。

【点评】在几何图形中，寻找隐圆是解决问题的一种非常简便的策略，一旦看到了隐圆的存在，许多问题便能快速解决。这就需要我们在解题过程中注重对隐圆模型的识别，从题目中挖掘定长、定角条件，以不变应万变。

圆中角的计算方法很多，如何做到解题方法的优化，这需要平时不断积累，做题时善于思考，不仅要追求正确，还要灵活运用不同方法，借助一题多解发展思维。