圆中易错点分析

文 曹 丹

圆是初中数学的重点内容之一，也是中考考查的热点。圆的概念和公式较多，而且综合性强，很多同学在学习中易出现错误。下面，老师选取平时同学们在学习中的易错知识点进行举例分析，希望对大家的学习有所帮助。

一、忽视分类，造成漏解

例1如图1，⊙O上有两定点A、B，点C是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB=30°，则∠C的度数是________。

【错解】60°。

【错因分析】很多同学根据题意想当然求解出60°，这种情况是对的，但是只考虑了点C在优弧上的情况。点C也可能在劣弧上。在求弦所对的圆周角的度数时，要注意一条弦所对的弧有两条，它们围成一个整圆，所以弦所对的圆周角有两个，且它们互补。

【正解】如图2，连接OB。

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，

二、方程思想不熟练

例2如图3，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为D。

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度。

【错因分析】第一问较为常规，我们通过连接OC容易解决。第二问给出线段关系，应联想设未知数，结合勾股定理利用方程解决问题，而同学们往往不会构造合适的直角三角形，因而无从下手。我们不妨从问题考虑，从求弦长联想到垂径定理，结合勾股定理的基本模型，作垂直，构造直角△AFO，再通过线段关系表示未知线段，得到方程，进而解决问题。

【正解】（2）如图4，作OF⊥AB于F，所以四边形OFDC是矩形。

设 DA=x，则 OF=CD=6-x。因为直径为10，所以半径为5，所以DF=OC=5，所以AF=5-x。

在 Rt△OFA 中 ，AF2+OF2=AO2，即（5-x）2+（6-x）2=52，解得x1=2，x2=9（舍）。所以，AF=3，再由垂径定理可得AB=6。

三、构造隐圆意识薄弱

例3 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是________。

【错解】BC＞4。

【错因分析】本题没有圆，大多数同学都能想到BC的一个极端情况是等边三角形的边，所以BC＞4，而另一极端情况就难想到了。如果我们能够由∠C=60°恒不变联想到圆周角，就“拨云见日”了。如何构造这个圆？可以画极端情况下的外接圆，这时候感受∠C在动中的不变性，容易得到直径最长。

【正解】作△ABC的外接圆，如图5所示：

∵∠BAC＞∠ABC，AB=4，

∴当∠BAC=90°时，BC是直径，也是最长的弦。

当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形，∴BC=AC=AB=4。