控制变量 以静制动——动圆问题解决策略浅析

文 杨春霞

图形与几何问题一直是初中数学学习的重点和难点。在众多几何问题中，以圆为背景考查的试题则更具有综合性。当圆与三角形、四边形等图形结合时还加入了图形运动，众多同学会感觉很困难，无从下手。下面结合例题对两类动圆问题进行剖析。

一、看得见的圆在动，看不见的位置在变

例1如图1，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）。动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动。设运动时间为t秒。

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标。

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；

②当△PAB为等腰三角形时，求t的值。

【分析】第（1）问是为第（2）问服务的，用t表示点C、P的坐标，实际上是用含t的代数式来表示两点到坐标轴的距离。第（2）问首先要有一种“遇动会变、分类相随”的意识。这样的分类在条件中是可以捕捉到信息的，比如“当△PAB为等腰三角形时”。这种说法对等腰三角形没有指明要素关系，即不知道哪两边是腰。因而，在具有分类意识的情况下，我们对动圆状态的研究就要细致，让圆慢慢地动，寻找静的临界时刻。

（2）①当⊙C由（5，0）向左运动，使点A到点D并继续向左运动时，有OA≤OD，即

当点C在点D的左侧时，过点C作CF⊥射线DE于F，则由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，则

从表6来看,该条公路资源单体等级高,数量多且分布均匀,但资源多样性(C3)一般;交通便捷度准则中,对外交通连接度(C5)和与其他公路连接度(C6)低;沿线可视景观准则中,景观类型多样,形式较为自然,但景观层次与协调性还有所欠缺(C8);设施配置齐全,分布合理,但设施及周边环境(C12)存在缺乏地方特色、养护管理不利、场地被占用等问题。

当PA=PB时，有PC⊥AB，

二、看不见的圆在动，看得见的形状在变

例2如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上。

小明的作法：

1.如图4，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交，BC于点G；

2.以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E；

3.在EB上截取EF=ED，连接FG，则四边形DEFG为所求菱形。

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化。请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围。

【分析】第（1）问以小明的作法为基础考查菱形的证明，需要同学们先理解作法，再结合菱形的判定定理进行逻辑推理证明。第（2）问是沿着小明的思路进一步探索菱形的个数与点D的位置关系。在探索过程中，同学们首先要借助直观想象发现点E在以点D为圆心、DG为半径的动圆上，因此，菱形的个数一方面受动圆与线段AB的交点情况的制约，另一方面受AB长度的制约，考查思维的全面性。

图5～图10演示了图形运动变化过程中基本图形的生成情况，其中图6、图8和图9是临界状态下的特殊情况。

证明：（1）∵DG=DE，DE=EF，

∴DG=EF。

又DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形。

又DE=EF，

∴▱DEFG是菱形。