函数思想下分段计费问题的教学探究

2020-06-10郑祥旦

辽宁教育 2020年5期

关键词：水费计费图象

郑祥旦

（福建省大田县教师进修学校）

分段计费问题是人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册的教学内容，在后继学习中可看作分段函数的问题。运用函数思想做好分段计费的教学，需要了解分段教学的基本思想，需要了解学生使用图象法学习的基础。

一、了解分段函数的基本思想

分段函数本身不是初等函数，但它是由若干个基本初等函数组合而成的。例如，人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册有如下的一道例题，其中y与x的函数解析式可表示为，其图象如图1所示。

图1

例：“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折。

（1）填写下表。

0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4 ……购买量付款金额/元……

（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象。

x＝2是此分段函数的分段点，同时y(x)在x＝2是连续的。而函数的连续性及其相关的证明通常是微积分的内容。

与上题相比，五年级分段计费的例题则是另一种表现形式的分段函数，y与x的函数解析式可表示为

x＝3、4、5、6是此分段函数的分段点，y(x)在x＝3、4、5、6上也是连续的（如图2）。

图2

其图形在x＝3、4、5、6各点产生跳跃现象，我们称x＝3、4、5、6为函数y(x)的跳跃点。

显然，学生画出这样的图形是不符合题意的（如图3），该图形用函数解析式表示为：

图3

进一步来说，分段计费的例题是由若干常量函数组合而成的分段函数，学生画出的图形是由常量函数和正比例函数组合而成的，而八年级所学的则是由两个不同的正比例函数组合而成的。但这样的题目也存在于五年级的练习题，如“某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元；超过12吨的部分，每吨3.8元。小可家上个月的用水量为17吨，应缴水费多少元？”

二、了解学生使用图象法的学习基础

一般来说，表示函数的方法有三种方法：解析式法、列表法和图象法。在五年级的教材里，仅在“回顾与反思”阶段要求学生用列表法检验解答的结果正确与否。从正向思维的角度来看，该表中的数据可以正确的结果，但从反向思维的角度来看该表中的数据既可以是图2的数据，也可以是图3的数据，或者说数据所表征的含义不是唯一的。为了正确理解题意，教学时需要运用图象法进行分析。从逻辑结构分析，线段图是图象法的最直接的表现，如图4所示。

图4

线段图需要用线段的长度来表示具体的数量，而且图中线段的长短关系要符合题目的数量关系。借助线段图，学生建立了数学的直观模型。从另一个角度来说，条形统计图也是图象法的最直接的表现，只要作简单的转换条形统计图就变成了直角坐标系。进一步来说，两者的结合即是学生产生可理解的函数图象。

三、基于函数思想的教学设计

函数思想是构造函数（即“规定思想”）从而利用函数的性质（已知、未知和规定思想）来解题的一种思维策略。“已知”，就是指“定量”；而“未知”则是指“变量”；“规定思想”则是指根据事物的规律而人为的构造的一种客观的函数关系。基于这种思维策略，分段计费的教学可以这样设计。

（一）读题，画线段图，列式解答

出示主题图，读出题意：王叔叔乘坐出租车行驶6.3km。出租车的收费标准：3km以内7元；超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。他要付多少钱？

引导画线段图，学生可能画出下列各种情形（图3也是其中的一种）。

不同的学生可能有不同的思考，或者是从车费的角度，或者从是路程的角度，他们从已有的知识经验出发，画出线段图，根据所蕴含的数量关系，正确地列式解答。但是，这并不代表他们已经完全地理解了分段计费的运算原理，特别是从函数思想的角度去思考问题。

（二）批判性思考，理解“定量”和“变量”的关系，画出图象

引导学生对解答过程进行批判性思考，并与之交流。

教师提问：你确信你的解法是正确的？然后，引导学生边读题边追问：① 如果王叔叔只乘坐0.5km，要付多少钱？（7元）②如果王叔叔只付7元钱，他最多能乘坐多少km？（3km）③ 如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少钱？（8.5元。④ 如果王叔叔付了8.5元，他可能乘坐多少km？（4km。所以说，8.5元分为两段：7元，1.5元。）⑤如果王叔叔乘坐4.2km，要付多少钱？（10元。它分为三段：7元，1.5元，1.5元。）

通过反思，学生会理解行程在0＜x≤3、3＜x≤4、4＜x≤5区间里时车费y（x）是连续的，而x＝3、4是函数的分段点。

教师示范：现在，把线段图的第一段，3km以内7元，画到新的图上。（如图5）