由一道初中数学填空题引发的思考

摘要：通过一道初中数学的基础填空题，引发了对数学本质的思考，进而用近世代数的观点解答了这道题;然后回到实际课堂当中，指出问题对初中数学教学的启示;最后把问题引向深入，通过近世代数的视角探索了一个因式分解的例子。

关键词：初中数学;近世代数;多项式环;未定元;未知数;因式分解

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2020）22-0354-02

一、符号说明

本文用正体粗体的表示实数集，用斜体细体的表示一个一般的环。

二、问题的提出、思考和解答

在初中数学整式一章的基础练习中，常常出现这样的填空题：

例1 ________。

在通常情况下，学生无外乎有两种答案。

答案1 。

答案2

如果你是一位初中数学教师，你会认为答案2是正确答案。但作为一道填空题，做到答案1就可以了。在此，我们不禁要问：答案2真的比答案1更好吗？如果你觉得答案2是正确答案，那依据是什么呢？为什么按照中考要求，答案1也正确呢？

事实上，答案1和答案2都可能是正确答案，但都有其局限性，关键看你用什么观点来理解。

在初等代数意义下，如果我们把字母x看作一个数，则答案2显然要比答案1完整。但是，在代数式当中，字母x真的表示一个数吗？如果x表示一个数，那关于多项式的理论是不是毫无缺陷呢？

注：在近世代数中，“多项式”和“整式”表示同一个概念。

再举一个简单例子。

例2 将多项式进行因式分解。

例2最后的答案是还是，抑或有其他答案？

这就引发我们对数学本质的思考了。事实上，全体实系数一元多项式构成一个环（ring），它是一个欧几里得整环（Euclidean domain），它和整数环有很多相似之处。多项式中的字母并不表示一个数，而有其特殊的含义。

在近世代数中，我们有如下的概念和结论。

定义1 设R是一个有单位元的环，是的扩环，是中的一个元素。如果满足

（1）对任意的，;

（2）;

（3）对R的任意一组不全为零的元素，

则称为上的一个未定元（indeterminate）（参看参考文献[2]）。

定理1 设是一个有单位元的环，则一定存在环上的一个未定元（参看参考文献[2]）。

定义2 设是一个有单位元的环，是上的一个未定元。上关于的一元多项式全体关于多项式的运算也构成一个环，称为上的以为未定元的一元多项式环（polynomial ring）（参看参考文献[2]）。

由上述定义和定理不难看出，由于实数集是一个有单位元的环（事实上还是一个域（field）），因此在上存在一个未定元，构成一个一元多项式环。

我们不禁要问：中的未定元是否属于呢？由定义1的（3）不难发现，对于任意的，都有（因为此时），即，因此。用同样的方法可以说明，在中，在中，在中……

事实上，对于任意一个有单位元的环R，在中我们都有。由于，因此。所以在任何一个一元多项式环当中，字母x一定不等于0。

有了这样的认识，我们回过头来看例1。如果我们把，都看成中的元素（实系数一元多项式），则是上的一个未定元（不是未知数），它一定不等于0，当然也不等于0。因此，分类讨论就没有必要了，此时答案1变成了正确答案。

对于例1我们可以这样总结：如果我们把，看作两个实系数一元多项式（此时x是上的未定元（indeterminate），），把原题看作多项式的除法运算，则正确答案是答案1;如果我们把，看作两个定义在上的一元多项式函数（此时x是上的未知数（unknown number），），把原题看作函数的除法运算，则正确答案是答案2。

三、问题对初中数学教学的启示

通过上一小节的论述，我们可以体会到，数学学科是相当严谨的。对于同一道题目，如果我们用两种不同的观点去看，就会得出两种截然不同的答案。因此，老师在平时教学中，也要抱着科学严谨的态度，深刻理解每一个概念，用规范的数学语言引导学生，从而使学生养成良好的学习习惯。

当然对于例1，我们不能给中学生解释“环”“未定元”这些近世代数的概念。但按照中考要求，答案1的确是正确答案。我想，我们可以告诉学生，在类似的问题里面，我们一般都把、、0看作代数式（整式），而和0是两个不同的代数式，因此作为代数式的除法运算，只要除式（特别指明是除数）不为0，我们就不需要分类讨论。我想，这样的解释，应该比简单告诉学生我们默认为分母不等于0要好，至少更符合数学的规范。对优等生我们可以给他们提供一个思路：代数式当中的字母x有其特殊的含义，它和方程、函数中的字母x是不一样的，如果你们今后学习高等代数和近世代数，就会逐渐接触到这部分内容了。提供这样的思路，是为了激发学生学习数学的兴趣和进一步求知的欲望，并为他们从中学到大学学习数学做了很好的衔接和铺垫。当然在大学代数类课程里，如果我们能给出类似例1和例2的一些实例，也会对学生理解“未定元”“多项式环”这些概念有很大帮助。

四、问题引向深入：对因式分解例子的初步思考与探索

回到例2，我们该如何对多项式进行因式分解呢？在初中数学课本里，我们这样定义因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解（factorization），也叫作把这个多项式分解因式（参看参考文献[1]）。而在近世代数中，把一个多项式因式分解，是指把一个多项式写成几个不可约多项式（irreducible polynomial）的乘积的形式，而不可约多项式指的是相应多项式环中的不可约元（irreducible element）。对于多项式，当我们把它看作或或中的元素时它的标准分解式是（注：此时已经是不可约多项式，可以不用分解，我们习惯上把它写成或或中的一个单位（unity）6乘以一个首一多项式（monic polynomial）的形式，这样的写法称为域上多项式的标准分解式）;而当我们把它看作中的元素时它的标准分解式应该是或;另外，当我们把它看作高斯整环（Gauss domain）上的多项式环中的元素时，它的标准分解式则是;等等。关于多項式因式分解的话题，在此不做进一步展开，有兴趣的读者可以参考文献[2][3][4]。

参考文献：

[1]项家祥，黄华.数学（七年级第一学期，试用本，第2版）[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]韩士安，林磊.近世代数[M].北京：科学出版社，2009.

[3]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]冯克勤，李尚志，章璞.近世代数引论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2009.

Thinking Caused by a Fill-in-the-blank Question in Junior High School Mathematics

—From the Perspective of Modern Algebra

HU Li-wen

（School of Mathematical Science， East China Normal University， Shanghai 200241， China）

Abstract： A basic fill-in-the-blank question in junior high school mathematics triggers the reflection on the nature of mathematics， and then the problem is solved from the perspective of modern algebra. This paper points out the enlightenment of the problem to the teaching of junior high school mathematics， and then explores an example of factorization from the perspective of modern algebra.

Key words： junior high school mathematics; modern algebra; polynomial ring; indeterminate; unknown number; factorization

收稿日期：2020-03-03

作者简介：胡力文（1984-），男（汉族），安徽省萧县人，硕士，中学二级教师、国家二级心理咨询师，研究方向：基礎数学、数学教育。