“无”中生“有”

薛正桧

一、无疑处设疑

宋代理学家、教育家朱熹说：“读书无疑者，须教有疑，有疑者无疑，至此方是上进。”有了问题、疑问和惊奇，儿童才能积极主动地思考。伟大的物理学家爱因斯坦也告诫我们说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验室上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”课堂中，学生能否产生实质性的问题，是学习是否真正发生的标志之一。

【片段一】

师：4个人到饭馆AA制吃饭，付了100元，找回3元。你能提出什么问题？

生1：每个人应付多少钱？

师：怎么解答？

生1：（100-3）÷4=24（元）……1（元），答：每个人付24元，还余1元。

师：这里面有“问题”吗？

（学生面面相觑。）

师：钱刚才是我出的，现在我收钱了，你准备给我多少钱？

生1：24元。

师：我好像不大认同，你就给我24元？

（生1迟疑。）

师：你到底给我多少钱？

生1：25元。

师：那你亏了。

生2：在24到25之间。

师：这种感觉挺好，既不是24元，也不是25元，应该比24元还多一点。过去我们学习有余数的除法时，算到这里就打住了。今天有事了，问题出在哪里呢？

生3：余下的1元，由谁出呢？

生4：1元能不能再4个人分？

师：请试一试。

【赏析】在学习小数除法之前，學生理解的除法是在整数范围内进行的，当除到被除数的个位不能整除时，那么就会用商和余数的综合形式来表示结果。在他们看来，“每个人付24元，还余1元”是一个再正常不过的结果了，没有任何可疑的地方。没有了疑问，产生不了问题，思维就不会展开。教师借助情境来还原现场“你准备给我多少钱”，让学生在具体的付钱活动中感知到问题的存在。原本学生认为“没事”，结果被教师“找出了事”“发现了问题”。付24元不对，付25元也不对。余下的“1元”究竟应该由谁来付？怎么付？学生已有的认知平衡被打破，他们认识到：最后的余数还得继续分下去，直至分完为止。一个新问题的产生，不知不觉地就将学生的视线拉向了更小的单位（角、分），“小数”呼之欲出，思维由此被激活，探究成了学生的内在需求。

二、无路处引路

近代教育家陶行知曾说：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”“凡为教，目的在于达到不需要教。”引导学生自己去发现问题，提出问题，并自主分析，解决问题，是教学的出发点，也是归宿。学生不是一个将要填满的容器，而是一支等待点燃的火把。只有把他们内在的学习动力、潜能激发出来，他们的成长才具有生命的意义，如种子一般生根，发芽，开花，结果。

【片段二】

师：她（生1）写了半天，又划掉了（如下图）。谁懂她？

生2：她是把1元换成10角，10角除以4，每人2角，还是有余数，还是不好分。

生1：你理解我的意思。

师：你最懂她。先说这件事（把1元换成10角），我有没有告诉她？

生（众）：没有。

师：（对着生1）特别巧，咱俩想到一块儿去了。这是10角，你来分一分。

（生1把10角分给4个人，每人2角，还剩2角。）

师：又出事了。出什么事了呢？

生1：剩下的不够分了。

师：所以这个时候，你怎么办？

生1：我把写的全划掉了。

师：那么这个2角怎么办呢？

生3：2角还可以换成20分。

生1：我知道了，20÷4=5（分），每人再分5分。

师：你特别想说什么？

生1：我想说，我遇到了困难没有去解决，不像这个同学遇到了困难就仔细去想，以后我也要这样。

师：做着做着出现了新问题，这个时候不要害怕，没关系，我们顺着这个思路慢慢去解决。

【赏析】一个学生在求解的过程中遇到了障碍，她本能地放弃了，她自认这不是一件光彩的事，想躲却没躲成，还被教师亮了相，多丢人啊！听课的教师也是一惊，为了成就教师的出彩而无视当事学生的感受，这不应该是有情怀的教师所为啊！可随着后续交流的开展，我们明白了教师的真正用意。把1元换成10角，这是重大的创举，教师大力表扬，先找她的“同盟军”，再把自己加进去说“咱俩想到一块儿去了”，并提供材料让她分一分，让她尽情享受成功的乐趣（虽然她先前没有意识到）。然后话锋一转，指出学生划掉答案的内在想法，并求助“这个2角怎么办呢”。经别人提醒后，学生迅速找到了下一步解题的方法。她明显感觉到这其实就是自己上一步方法的延续，1元不够分换成“角”，2角不够分再换成“分”，这种顿悟是何等珍贵啊！更为精彩的是，教师还让学生发表感想，“以后我也要这样”虽是只言片语，但影响深远。在这里，学习某个具体的知识不再是唯一目标，获得分析、解决所有问题的普适性策略成了至上追求。没事找事，跳出数学教数学，为学生的终身发展奠基，这是我们所有教育者都应具有的情怀。

三、无知时致知

对学生来说，学习数学的一个重要目的就是要学会数学思考。对教师来说，数学教学的思考应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开，教给学生科学的思维方式与思维习惯，让学生去体悟数学的智慧与美。课堂中，当学生没能明晰知识的内涵时，我们要适时地“没事找事”，格物致知，让他们在已有问题解决的基础上提升认识。

【片段三】

师：每个人应付多少钱？

生（众）：24元2角5分。

师：这里面还有事吗？解决了吗？

（学生面面相觑，似乎提不出问题了。）

师：那以后凡是花钱的事，我们就画一画、分一分，可以吗？

生1：不方便，麻烦。

师：这不就是事吗？学习之中总得有新的事！你们想怎么解决？

生2：把分的过程合在一个竖式里。

（学生根据整数除法列竖式的经验，补充成下图。）

师：看到这个竖式，你们有新的事吗？

生3：容易看成是“2425”元。

师：怎么办呢？

生（众）：点上小数点。

师：点在哪儿呢？

（学生根据元、角、分的意义把上图调整为下图。）

师：小数点为什么要点在这儿呢？

……

【赏析】从解决问题的角度看，当学生得出“24元2角5分”时，已经算是解决了问题。但这显然不是数学教学的真正目的，数学课不是为了解决问题而解决问题，而是以解决问题为载体，让学生在一系列的观察、探究、尝试、抽象、推理、验证等活动中，获得数学知识的扩充、能力的提升，以及素养的达成。数学是思维的体操，以形式化的符号语言呈现思维结果。算法是直观的，但算理却是抽象的，是高阶思维的集中体现，小数除法的计算最终必须落实到抽象的竖式之中。借助“元、角、分”情境，学生感悟到了“当有余数时，可以换成小一点儿的单位再继续除”，这是后续理性认识的基础。紧接着，教师引导学生从不同角度去反思。以后分钱，全部用操作（分、画）的方法吗？竖式中的结果会被当成整数，怎么办？竖式内部的小数点有没有必要加？没有了元、角、分，怎么思考97÷4？问题一个接着一个，在不断“找事”及解决问题的过程中，学生的思维一步步实现了由前运算到具体运算，再到形式运算的递进。

（作者单位：浙江省宁波滨海国际合作学校）