“三步走”引领学生经历数学建模过程

鲁正超

数学是自然科学的基础，是一切科技发明的基本工具，而数学学习与研究的核心问题是数学的建模与用模问题。《数学课程标准》（2011年版）明确指出：“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、建构数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”由此可看建构和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。它不仅关系到学生的学习，也关系到学生的终身发展。

一、创设教学情境，提供建模信息

建构数学模型，其载体就是数学建模素材，选好建模素材关系到整个建模的质量，因此，教师在搜集和整理数学建模素材时，不仅要从教材中挖掘应用素材，更重要的是从现实生活中搜集学生能解决的数学建模素材。而数学建模素材需要教师创设有效的教学情境，创设情境是一种为学生提供信息、发现问题、积极探求的心理取向，是数学思维发展的土壤，能引起学生的好奇心，引发学生合理的认知冲突，激发学生的认知内驱力，能将抽象的数学问题具体化、深奥的数学道理形象化、枯燥的数学知识趣味化，为学生建构数学模型提供信息创造条件。新课标教材的每一个信息窗或情境图都提供了学生熟悉的、感兴趣的、与生活紧密联系的情境，可以充分利用这些情境导入新课，让学生在情境中提出数学问题。例如人教版新课程标准实验教材小学数学四年级下册第一单元“四则运算”中的例5，本例题教师可以这样创设情境，为学生提供丰富的建构数学模型的信息。“大家想象一下，和风煦日，杨柳如茵，轻摇橹桨，泛舟河中，是多么的惬意呀！划船中也有数学问题，你想知道吗？”教师边说边出示课件（多媒体课件出示教材主题图）：

“从这热闹而激动的场面你获得了哪些信息？依据这些信息你能提出什么问题？”（教师指导学生有序、有层次地观察，尽量排除与本节课教学内容无关的信息，然后指名回答）学生在观察、思考的基础上可能说出：一共有32人，小船24元，大船30元，大船限乘6人，小船限乘4人，怎样租船最省钱等信息，教师可依据学生反馈的信息板书：

人数：32人

小船租金：24元/艘

大船租金：30元/艘

小船人数：4人/艘

大船人数：6人/艘

怎样租船最省钱？

这样选准新知识的切入点将抽象的数学知识融入一定的情境中，从现实生活的事例引出研究内容，不仅可以激发学生的探究兴趣，而且可以提升学生用数学的眼光观察生活、审视事物和用已有知识解决实际问题的意识。让学生从数学的角度去思考，以此发现丰富的数学信息，为学生步入互动生成的课堂，建构数学模型作好了铺垫。

二、分析数量关系，经历建模过程

数量关系是指在解决实际问题中已知数量与已知数量、已知数量与未知数量之间的关系。只有搞清楚数量关系，才能根据四则运算的意义恰当地选择算法，把数学问题转化成数学式子。为此，分析数量关系是帮助学生建立数学模型的关键。上述例5，学生已经收集到构建数学模型的主要信息（已知信息和要求的问题），教师可以抓住恰当的时机引导学生分析数量关系。“怎样租船最省钱？这个问题需要哪些信息？你们有什么想法？”这时学生带着问题可能这样思考：可以算算每种船每个人需多少钱，再选择;可以都用小船或都用大船试一试，看看哪种方式更省钱，然后再调整;租5条大船、1条小船，小船会空出2个座位怎么办呢？如果不空座位会不会更省钱？

学生小组合作交流，教师适时点拨、发现问题、了解信息。学生在独立思考的基础上尝试解答，经历建构数学模型的过程，学生由被动学习转变为主动学习，以此激活学生的生活经验和相应的知识，促使学生积极探索租船的方案。这样既给课堂教学注入了活力，又形成了师生、生生之间的全方位、多层次、多角度的交流，使小组中每个人都有机会发表自己的观点，感受到学习的快乐，从而满足了学生的心理需要，促进学生智力因素和非智力因素的和谐发展，进而促使学生相互学习，共同提高，为学生有效地建构数学模型打下了良好的基础。

三、运用四则运算的意义，建构数学模型

数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建构和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。小学阶段的基本数量关系主要有：把两个数合在一起，用加法计算;已知两个数的和以及其中的一个数，求另一个数，用减法计算;求几个几是多少或者求一个数的几倍是多少用乘法计算;求几个几分之几是多少或者求一个数的几分之几是多少用乘法计算;把一个数平均分成若干份，求一份是多少，或者把一个数平均分，已知一份是多少，求平均分成了几份用除法计算等。这些基本的数量关系其实就是加、减、乘、除法的意义，也是解决问题、建构数学模型的基础。学生通过分析数量关系，知道解决“怎样租船最省钱”这个数学问题，就要运用四则运算的意义，借助数学符号建立数学模型：因为30÷6=5（元），24÷4=6（元），所以租大船便宜。因为32÷6=5（条）……2（人），所以租5条大船，1条小船，30×5+24×1=174（元）。把小船上的2人和1条大船上的6人都安排坐2条小船，还可以省钱，30×4=120（元），24×2=48（元），120+48=168（元）。通过观察比较，发现问题，分析建构数学模型的过程，并提出不同的看法和建议，寻求最省钱的方案，以此加深学生对建构数学模型的理解。这一过程引导学生自主活动，自觉地在学习过程中形成建构数学模型的意识，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律等，不仅能帮助学生打开解题思路，培养发散思维，而且可以培养学生自觉运用数学知识思考和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思維品质。

总之，数学建模不仅能让学生从实际生活中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，而且在建立模型、形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。但是关键要抓住数学建模思想的渗透，让学生经历数学建模过程，特别是小学阶段低年级学生，掌握策略是基础。为此，在小学数学教学中，教师要更加注意，让学生从现实问题情境中学数学、用数学，只有这样，数学教学中的“问题解决”才会有相应的环境与氛围。建立模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，也是学生深化、掌握和发展数学与外部世界联系的最基本方法，是学生学习数学、学会数学、应用数学所必须掌握的。

（作者单位：河南省罗山县第一实验小学）