含弹簧系统的动量与动能问题的分析

■甘肃省天水市麦积区向荣学校

弹簧是高中物理中最常见的模型之一，它既是物理概念的抽象应用（物理模型），又是重要物理规律的实际应用（问题载体），利用弹簧的这一特点，可以设计出含弹簧系统的动量与动能的综合题，较好地考查考生对动量与动能概念和规律的理解和应用程度。下面结合例子进行讨论。

一、含弹簧系统的动量与动能的概念和规律

1.理想化弹簧的特点：①在弹性限度内，弹簧的弹力F与形变量x成正比，即F=kx；②在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的平方成正比，即；③运动物体受到的其他力与弹簧弹力平衡时，加速度为零，速度最大，动能最大；④运动物体压缩（拉伸）弹簧形变量最大时，物体的速度为零，动能为零，弹簧的弹性势能最大；⑤在只有重力和弹簧弹力做功的过程，含弹簧的系统机械能守恒；⑥弹簧弹力对物体做的功等于弹簧弹性势能的变化量，即W=-ΔEp。

二、含弹簧系统的动量与动能综合题的分析

例题（2019年高考全国Ⅲ卷）如图1所示，静止在水平地面上的小物块A、B的质量分别为mA=1kg，mB=4kg，两者之间有一被压缩的微型弹簧，物块A与其右侧的竖直墙壁间的距离l=1 m。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B两物块瞬间分离，两物块获得的动能之和Ek=10J。将弹簧释放后，物块A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。两物块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2，取重力加速度g=10m/s2。两物块在运动过程中涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。

（1）求将弹簧释放后瞬间两物块速度的大小。

（2）两物块中的哪一个先停止？该物块刚停止时物块A与B间的距离是多少？

（3）物块A和B都停止时，物块A与B间的距离是多少？

解析

（1）将弹簧释放的过程中，系统的动量守恒、机械能守恒。设两物块的速度大小分别为vA、vB，取向右为正，由动量守恒定律得0=mAvA-mBvB，由机械能守恒定律得，解得vA=4m/s，vB=1m/s。

（2）两物块分离后朝相反方向做匀减速运动，因两物块与地面间的动摩擦因数相等，故两物块的加速度大小相等，设为a。假设物块A和墙壁发生碰撞前，已经有一个物块停止，那么此物块应该为弹簧释放后速度较小的物块B。设从弹簧释放到物块B停止所需的时间为t，物块B向左运动的路程为sB，则，vBat=0，解得a=2m/s2，t=0.5s，sB=0.25m。在时间t=0.5s内，物块A可能与墙壁发生碰撞，碰撞后物块A向左运动，但碰撞并不改变物块A的速度大小，因此无论此碰撞是否发生，物块A在时间t=0.5s内的路程sA都可以表示为，解得sA=1.75m。sA＞l表明物块A在时间t=0.5s内与墙壁发生了碰撞，但没有与物块B发生碰撞，此时物块A位于出发点右侧0.25m处，物块B位于出发点左侧0.25 m处，两物块间的距离Δs=0.25m+0.25m=0.5m。

（3）物块B停止后物块A将继续向左运动，假设它能与静止的物块B发生碰撞，碰撞时的速度大小为vA′，由动能定理得，解得，因此物块A与B将发生碰撞。设两物块碰撞后的速度分别为vA″、vB″，由动量守恒定律和机械能守恒定律得。这表明碰撞后物块A将向右运动，物块B将向左运动。设碰撞后物块A向右运动距离为sA′时停止，物块B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式得2asA′=vA″2，2asB′=vB″2，解得sA′=0.63m，sB′=0.28 m。因为sA′小于碰撞处到墙壁的距离，所以两物块都停止时二者间的距离Δs′=sA′+sB′=0.91m。

点评：本题中包含两个碰撞过程，碰撞过程中动量守恒、机械能守恒；两物块分离后的运动过程都是匀减速运动。求解本题的难点在于分析清楚两物块分离后，物块B先静止，物块A与墙壁碰撞反弹再与物块B碰撞，最后两物块朝相反方向运动直至静止。

方法与总结

求解含弹簧系统的综合性问题，首先要通过受力分析，弄清楚运动过程的性质和遵从的规律，比如是匀速运动还是匀变速运动，是动量守恒还是机械能守恒；其次要根据运动过程的特点，采用合理的方法分析，比如若整个过程比较复杂，则可以分成几个典型的过程分段处理；再次，要抓住联系不同运动过程的物理量，比如抓住“前一过程的末速度就是后一过程的初速度”这一条件。

感悟与提高

1.如图2所示，轻质弹簧的左端固定，处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，再次运动到A点恰好静止。已知物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中（ ）。

A.弹簧的最大弹力为μmg

B.物块克服摩擦力做的功为2μmgs

C.弹簧的最大弹性势能为μmgs

D.物块在A点的初速度为

2.如图3所示，质量为M的木块位于光滑水平面上，用轻弹簧将木块与左侧墙壁相连，开始时木块静止在A位置。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块并留在其中，之后压缩弹簧，弹簧始终处在弹性限度内。木块回到位置A时的速度v和在此过程中墙壁对弹簧的冲量I的大小分别为（ ）。

3.如图4所示，光滑水平面上有三个物块A、B、C，质量分别为mA=mC=2m，mB=m，物块A、B中间有一压缩的轻弹簧。开始时物块A、B以速度v0向右运动，物块C静止。弹簧突然弹开，然后物块B与C碰撞并粘在一起，最终三个物块的速度相同，求物块B与C碰撞前B的速度。

参考答案：1.BC 2.B

3.vB=1.8v0。