选对解题方法 妙解变力做功

■江苏省江都中学

功的计算问题包括恒力做功和变力做功两大类，同学们在求解做功问题时，正确进行受力分析，判断出所求功是恒力（力的大小和方向都不变）做的功还是变力做的功是前提。若所求的功是恒力做的功，则可以直接利用公式W=Flcosα计算，其中α为恒力F与位移l的夹角。若所求的功是变力做的功，则需要灵活选用微元法、图像法、能量观点等技巧完成求解。显然，求解变力做功问题是同学们学习中的难点和易错点，只有选对方法，才能顺利求解。下面通过实例展示一些行之有效的求解变力做功的方法，希望能够帮助同学们突破这一难点。

一、利用微元法“化曲为直”求变力做功

当物体做曲线运动或往复运动时，受到的力的方向始终与速度的方向在同一直线上，可以把曲线分成无数小段，把每一小段曲线看成直线，把作用在每一小段曲线上的力看成恒力，先求出作用在每一小段曲线上的力对物体做的功，再累计求和。这是“累积”的思想，也是“化曲为直”“化变为恒”的思想。

例1如图1所示，一磨杆长为L，在杆的末端施以始终与杆垂直且大小不变的力F，当杆绕轴转动一周时，求力F做的总功。

解析

因为杆在转动，力的方向始终与力的作用点的速度方向相同（都沿切线方向），所以可以把圆分成无数个小段（每一小段的弧长都足够小），这样每一小段的弧长都可近似为力在该小段上的位移，且力的方向与该小段的位移方向相同，在每一个小段上就可以看成是恒力在做功，则WFi=F·Δsi，再累计求出各个小段上的力做功的总和W=F·Δs1+F·Δs2+…=F·（Δs1+Δs2+…）=2πLF。

警示：有的同学会因为没有仔细分析杆的运动过程，或没有考虑力F是恒力还是变力，或对求功的公式W=Flcosα的适用范围搞不清楚，而乱套公式导致出错。

二、利用图像法“数形结合”求变力做功

在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，用横坐标表示物体在力的方向上的位移s，作出F-s图像可以直观展现物体受到的力随位移的变化关系。利用F-s图像求解做功问题更简捷。

若作用在物体上的力是恒力，则其F-s图像如图2所示。经过一段时间物体发生的位移为s0，则直线与坐标轴所围成的面积（阴影部分面积）在数值上等于力对物体做的功W=F0s0，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图2甲所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图2乙所示）。

若物体的F-s图像是一条倾斜的直线（如图3所示），经过一段时间物体发生的位移为s0，则直线与坐标轴所围成的面积（阴影部分面积）在数值上等于力对物体做的功，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图3甲所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图3乙所示）。

若物体的F-s图像是一条曲线（如图4所示），则表示力的大小随位移不断变化，曲线与坐标轴所围成的面积在数值上等于变力所做的功，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形的面积分别表示对应恒力做的功。当阶梯形折线越分越密时，这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积。

例2放在地面上的木块与一劲度系数k=200N/m的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1=0.2m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2=0.4m的位移，求上述过程中拉力所做的功。

解析

根据题意可知，拉力与木块受到的弹簧弹力相同。在木块运动之前，木块受到的弹簧弹力随弹簧伸长量的变化呈线性关系，即F=kx（0＜x＜0.2m）；当木块缓慢移动时，木块受到的弹簧弹力不变，即F=kx1=40N（x≥0.2 m）。作出F-x图像如图5所示，图像与横轴所围梯形的面积在数值上等于拉力所做的功，即W=×（0.6+0.4）×40J=20J。

三、利用能量观点“化繁为简”求变力做功

1.动能定理法：应用动能定理只需考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程变化的影响，因此凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以运用动能定理分析解答，且往往会比用牛顿运动定律求解更简捷。面对无法应用牛顿运动定律解决的变力做功问题时，可以巧用动能定理进行求解。用W变表示变力做的功，则动能定理的表达式为W恒+W变=Ek2-Ek1或Flcosα+W变=Ek2-Ek1。

例3摄制组在某大楼边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图6所示，若特技演员的质量m=50kg，摄制组在房顶离地H=12 m处架设了轮轴（轮与轴有相同的角速度），轮和轴的直径之比为3：2（人和车均可视为质点，且轮和轴的直径远小于H）。若轨道车从图中A处匀速前进到B处，速度v=10m/s，细钢丝绳BO与水平方向间的夹角为53°，则由于绕在轮上细钢丝绳的拉动，演员由地面从静止开始向上运动。在轨道车从A处运动到B处的过程中（取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（ ）。

A.演员上升的高度为3m

B.演员的最大速度为9m/s

C.以地面为重力势能的零势能面，演员的最大机械能为2400J

D.细钢丝绳在这一过程中对演员做的功为4275J

解析

将轨道车的速度v分解到沿绳和垂直于绳两个方向上，则在B处绳的伸长速度v1=vcos53°=6m/s。设演员的上升速度为v3，轮的半径为R，轴的半径为r，由轮和轴的角速度相等得，解得v3=9 m/s，选项B正确。在轨道车由A处运动到B处的过程中，设演员上升的高度为h，由轮和轴转过的角度相等得，解得h=4.5 m，选项A错误。细钢丝绳在这一过程中对演员做的功等于演员具有的最大机械能（以地面为重力势能的零势能面），由动能定理得，解得W=4275J，选项C错误，D正确。

答案：BD

2.机械能守恒定律法：当物体系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能守恒。如果重力和弹力中有一个力是变力，那么这个变力所做的功就可以用机械能守恒定律求解。

例4如图7所示，质量为m，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端相齐。当略有扰动时其一端下落，则从铁链一端开始下落到铁链刚脱离滑轮的过程中重力所做的功为多少？

解析

3.能量守恒定律法：当除重力或弹力之外的其他力对物体也做功时，系统的机械能与其他形式的能发生转化，但能量的总量保持不变。如果这些力中只有一个变力做功，而除变力外的其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，那么就可以用能量守恒定律求解变力做功问题。

例5如图8所示，将一个质量为m、长为a、宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人最少需要做多少功？

解析

在人把这个矩形物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均为未知量，也不知道其大小和方向的变化情况，因此需按变力做功问题求解。在人把物体竖立起来的过程中，物体重心升高的高度，因此物体机械能的增量ΔE=ΔEp+ΔEk。根据能量守恒定律得W人=ΔE=ΔEp+ΔEk，当ΔEk=0时，W人最小，因此人最少需要做的功等于