机械能守恒定律及其应用高频考点探析

■宁夏六盘山高级中学

机械能守恒定律是物理学中的一条重要定律，是能量守恒定律的一种特殊情况。应用机械能守恒定律解决有关问题，一般不涉及过程中力的作用细节，更关注过程中的机械能的转化关系和始末状态，使物理问题变得简洁，有时还可以使得一些用牛顿运动定律无法解决的问题得以解决。下面就机械能守恒定律及其应用的高频考点归纳剖析，希望对同学们的学习有所帮助。

一、机械能守恒定律成立的条件

机械能守恒定律的条件分析和判定是运用机械能守恒定律解题的重要环节，同时也是同学们学习的难点之一。判断系统的机械能是否守恒，通常可以采用以下三种方法。

1.定义判断法：分析系统内动能与势能的和是否变化，如匀速上升的物体的动能不变，重力势能增加，故机械能必定增加。

2.做功判断法：若仅仅是系统内的重力或弹力做功，则系统的机械能一定守恒。具体表现包括：一种是只受重力，如所有抛体运动（阻力不计）；另一种是除重力或系统内弹力，系统还受其他力作用，但是其他力不做功或做的总功为零。

3.能量转化判断法：若系统中只有动能和势能相互转化，如动能、重力势能、弹簧的弹性势能之间相互转化，没有系统的机械能和其他形式能的转化，则系统的机械能一定守恒。

例1如图1所示的四个选项中，物体都在固定的斜面上滑动，其中A、B、C中的斜面是光滑的，D中的斜面是粗糙的。A、B中F是物体所受的外力，A、B、D中物体沿斜面向下运动，C中物体沿斜面向上运动。在A、B、C、D所示的运动过程中机械能一定守恒的是（ ）。

解析

A中，除了重力对物体做功，还有外力F对物体做正功，物体的机械能增加；B中，除了重力对物体做功，还有外力F对物体做负功，物体的机械能减少；C中只有重力对物体做功，物体的机械能守恒；D中，除了重力对物体做功，还有摩擦力对物体做负功，物体的部分机械能转化为内能。

答案：C

二、应用机械能守恒定律求解单个物体（系统）问题

单个物体机械能守恒是一种简洁的说法，其本质是系统机械能守恒。解答这类问题，通常采用三种方法分析：一是选择参考平面，利用机械能守恒定律，列出两时刻（位置）机械能相等的方程式，求解相关物理量；二是根据机械能守恒定律，列出势能的增加量（减少量）等于动能的减少量（增加量）的方程式，求解相关物理量；三是根据机械能守恒定律，列出系统中一些物体机械能的减少量（增加量）等于其他物体机械能的增加量（减少量）的方程式，求解相关物理量。

例2如图2所示，两个圆弧轨道被固定在水平面上，它们的半径均为R，甲图中轨道由金属凹槽制作而成，乙图中轨道由金属圆管制作而成，两个轨道均可视为光滑轨道。在两个轨道的右侧正上方，分别将金属小球A与B由静止释放，两小球距离水平面的高度分别是hA和hB，下列说法中正确的是（ ）。

A.如果hA=hB=2R，那么两小球都能够沿着轨道运动到轨道最高点

C.若适当调整hA和hB，则可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好能够落在轨道右端口处

D.如果使两小球沿轨道运动，并且从轨道最高点飞出，那么小球A释放时的最小高度是，而小球B释放时的高度在满足hB≥2R的任何高度均可

解析

小球A要想能够到达轨道最高点，则在轨道最高点必须满足速度，而小球B在轨道最高点时的速度可以为零。根据小球在下落和在圆轨道上运动的整个过程中机械能守恒，对小球A有，解得，对小球B有hB≥2R，选项A错误，D正 确。当时，对小球A来说，只有当小球A在最高点的速度为零时才能达到高度为，而小球A在轨道上运动时不可能有速度为零的时刻，选项B错误。要使小球能够从轨道最高点飞出后做平抛运动落到轨道右端口处，根据平抛运动规律可知，，R=vt，解得小球做平抛运动的初速度，因此小球A不可能落到轨道的右端口处，小球B可以落到轨道的右端口处，选项C错误。

答案：D

三、应用机械能守恒定律求解由多个物体组成的系统问题

高考考查机械能守恒定律的应用，大多情况是考查由两个物体组成的系统，这两个物体通常用细绳或轻杆连接在一起，从运动过程所涉及能量形式的角度看，如果摩擦阻力不计，仅仅是重力势能和动能之间的转化，或者仅仅是系统内弹力对一个物体做正功与对另一个物体做负功，也就是内力做功的代数和为零，那么系统的机械能守恒。简言之，若没有摩擦力和介质阻力做功，则系统的机械能守恒。

例3如图3所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴O，在盘面的右边缘固定一个质量为m的小球A，在圆心的正下方离其处固定一个质量也为m的小球B。放开圆盘让它自由转动，求：

（1）当小球A转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

（2）小球A转到最低点时的线速度是多大？

（3）在圆盘转动的过程中，半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

解析

因为不计圆盘与转轴O的摩擦和空气阻力，机械能和其他能之间没有能量转化，所以由圆盘及A、B两小球组成的系统机械能守恒。

（1）以圆盘边缘最低点所在水平面为零势能面，则圆盘刚要开始转动时，A、B两小球的重力势能之和，当小球A转到最低点时，A、B两小球的重力势能之和Ep2=EpA′+EpB′=mgr，因此当小球A转到最低点时，A、B两小球的重力势能之和减少量。

点评：应用机械能守恒定律求解由多个物体组成的系统问题，可以根据机械能和其他形式能之间是否发生转化，判定机械能是否守恒，也可以根据确定系统中有哪几个物体，都受到哪些力，有哪些力做功，除了重力和系统内的弹力，其他力是否做功，或者其他力做功的代数和是否为零，判定机械能是否守恒。本题中，A、B两小球固定在同一圆盘平面上转动，是典型的同轴转动问题，角速度相等，则线速度与半径成正比。另外，在利用机械能守恒定律解题时，选取不同的零势能面，将会影响所列机械能守恒方程的复杂程度，比如本题若以转轴所在平面为零势能面，则会使机械能守恒方程更为简洁，同学们不妨一试。

四、应用机械能守恒定律求解含弹簧类问题

近年来，高考试卷物理模块中常常出现多过程、多情境的试题，特别是含弹簧类问题出现得更加频繁。这类试题能够很好地考查考生分析复杂问题的能力，应用所学知识解决实际问题的能力，以及创新应用能力等。

例4如图5所示，A、B两物体的质量分别为m1、m2，二者用一轻质弹簧相连，物体B与地面接触，物体A与一条不可伸长的绕过轻质定滑轮的轻绳连接，轻绳另一端与一轻挂钩（质量不计）相连，它们都处于静止状态。已知弹簧的劲度系数为k，开始时各段轻绳都处于伸直状态，物体A上方的一段轻绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并将它由静止释放，物体C恰好能够使物体B离开地面但不继续上升。如果将物体C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍然从上述初始位置将它由静止释放，求这次物体B刚离开地面时，物体D的速度大小（重力加速度为g）。

解析

开始时，A、B两物体静止，设弹簧的压缩量为x1，则kx1=m1g，解得。挂上物体C并释放后，物体C向下运动，物体A向上运动，设物体B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2，则kx2=m2g，解得。由题意可知，此时物体A和C的速度均为零，由物体C、A和弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律可知，弹簧弹性势能的增加量。将物体C换成物体D后，设物体B刚离开地面时，物体D的速度大小为v，则此时物体A的速度大小也为v，物体B刚离开地面时弹簧弹性势能的增加量与挂物块C时相同，由机械能守恒定律得，联立以上各式解得。

点评：高中阶段遇到的涉及弹簧弹性势能的问题，一般是考查机械能守恒定律或能量守恒定律的理解和应用，而不是考查弹簧弹性势能公式的应用（除非题目中给出这个公式），原因是教材中没有这个弹簧弹性势能的表达式，高考大纲中也不要求掌握这个公式。

感悟与提高

1.2018年10月11日，俄罗斯“联盟MS-10”运载火箭发射升空，不久发生故障，自动启动逃逸系统后，逃逸塔以最快的速度将火箭和载人飞船分离，同时启动自带发动机，顺利将载人飞船带离火箭且安全返回地面。将逃逸塔带着载人飞船在返回地面前的某段运动看成先匀速直线运动，再减速直线运动，最后撞落在地面上。那么飞船在返回地面前（不考虑飞船质量的变化），下列说法中正确的是（ ）。

A.在匀速下降过程中，机械能守恒

B.在匀速下降过程中，合外力做功为零

C.在减速下降过程中，机械能守恒

D.在减速下降过程中，合外力做功等于机械能的变化

2.如图6所示，带电小球a由两条绝缘细线PM和PN悬挂，且细线PM水平，小球a处于静止状态。地面上固定一绝缘且内壁光滑的圆弧细管道GH，小球a所在位置与圆心P重合，管道底端H相切于水平地面。一质量为m（可视为质点）的带电小球b从G端口无初速度地释放，当它运动到H端时对管道壁恰好无压力，那么在小球b由G端运动至H端的过程中（重力加速度为g），下列说法正确的是（ ）。

A.小球b的机械能逐渐减小

B.小球b的加速度先变大后变小

C.细线PM的拉力先增大后减小

D.小球b所受小球a对它的吸引力大小始终为2mg

3.如图7所示，光滑圆环半径为R，固定在竖直面内，用轻杆连接两个质量均为m的小球A和B，并将两小球套在圆环上，开始时轻杆竖直，同时无初速度地释放两球，当小球A运动到小球B的初始位置时，轻杆恰好水平。在从开始运动到轻杆水平的过程中（重力加速度为g），下列说法正确的是（ ）。

A.小球A、B的机械能均守恒

B.由小球A、B组成的系统机械能守恒

C.轻杆对小球B做的功为

D.轻杆对小球A做的功为0

4.如图8所 示，半径R=0.2 m的 光滑半圆轨道AB与倾角θ=37°的粗糙斜面轨道CD放在同一竖直平面内，一条光滑且足够长的水平轨道BC将AB、CD两轨道相连，C处用光滑小圆弧平滑连接。在轨道BC上，质量为m的小物块b与轻质弹簧接触但不拴接，在轨道CD上，将质量为3m的小物块a由静止释放，经C点后压缩弹簧，物块b到达B点时已与弹簧分离（物块a与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：

（1）物块b通过最高点A后，在轨道BC上的落点与B点间的最短水平距离。

（2）要使物块b能够通过最高点A，释放物块a时的最小高度（结果保留两位有效数字）。

参考答案：1.B 2.C 3.BC

4.（1）Lmin=0.4m；（2）hmin=0.67m。