“理解数学”视角下的课堂实践探索

潘慧哲

摘要：数学课堂中“开门见山给出定义，正反辨析几点注意，例题巩固大量训练”的现象依然存在，片面重视应考学科，造成学生对知识的整体结构、蕴含的思想方法认识残缺不全，问题的根源还是在教师对数学的理解不到位。为了解决这个问题，教师首先得“理解数学”，认识到数学的教学应该回归数学知识本质、厘清知识网络、渗透数学思想方法。这样的课堂以数学的方式育人，使学生在掌握基础知识的同时，增强上下位知识的联系，增强全局意识，发展数学思维，培养核心素养.

关键词：理解数学;知识网络;思想方法

什么是“理解数学”呢？从现代认知心理学的角度分析，首先是让学习者认识到数学的表象，然后构建心理的表象，再以此为基础构建新的知识构架，不再坚持已有的认知。真正的数学理解明白结果的获得固然重要，但更要去探索和思考结果的成因以及过程当中所蕴含的数学思想方法。 数学理解并不是一节课完成的，它是经过长期的积累、重组、建构实现的，属于动态的发展过程。

如何在平面几何的教学中理解数学、回归本质，掌握数学知识及其逻辑联系，发展数学思维，使学生能够创造性地思考问题？

一、问题呈现

期末复习阶段，学生做了省编教材九年级数学上册作业本“圆的基本性质”复习题中的这道题目：

已知：如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB，交OD于点F.

（1）求证：OD⊥BE;

（2）若DE=      ，AB=5，求AE的长.

二、基于“理解数学”的教学

这是一道期末复习阶段的课后作业题，第（1）小题的答题情况较好，学生的问题主要集中在第（2）小题。笔者分析了学生的错因，大部分学生有设元的过程，说明具备了利用方程思想求线段长度的意识，问题是找不到建立等量关系的依据，缺乏对知识的本质认识，没有建立起与其相关内容的联系。为了解决上述问题，我分两个课时进行研究：

第一课时：1.追本溯源，构建知识网络;

2.例题分析，明确研究方向;

第二课时：1.例题推广，巩固研究成果;

2.解法探究，培养数学思维。

这是基于“理解数学”的教学设计，不仅落实了基础知识，也能帮助学生构建与圆有关的知识构架，培养学生的几何直观能力和逻辑思维水平。

三、追本溯源

以错题为载体，在分析和解决问题的同时引导学生一起整理有关内容，构建如下的知识结构图：

四、相关思考

我们不难发现，圆有两个对称性：轴对称性和旋转不变性。垂径定理是圆的轴对称性的具体体现和刻画，其中弦（非直径）的中点与圆心连线所在的直线不仅是弦的对称轴，它也是圆的对称轴，这其实是在圆的背景下进一步研究线段相等和角度相等。所以，教师需要站在几何学的高度分析垂径定理在知识体系中的逻辑定位，准确把握其实质，并能够在课堂教学中揭示其数学思维的基本途径。

在“圆心角定理”的课时学习中，圆具有旋转对称性，把它绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原来的图形重合。把这一性质转化为圆中的几何元素就是一段弧与另一段弧的相等关系，而每一段弧所对弦是唯一的、所对的圆心角也是唯一的，所以对应的弦相等、圆心角相等。这也说明弧、弦、圆心角之间的内在联系是圆的旋转对称性。然而在“圆周角定理”的课时学习中，一段弧所对的圆周角有无数个，怎么建立起圆周角与弧之间的联系呢？由于圆心角与所对的弧之间存在一一对应关系，因此可以将问题转化为同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系研究，毕竟角度之间的关系学生要熟悉一些。

因此，垂径定理和圆心角定理及后面的圆周角定理是本章的核心知识点，所以笔者选取了下面这道例题作为切入点：

例题：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则：①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;其中一定成立的是                               .

通过五个结论的探究聚焦了这三个核心知识点，其中，①②是垂径定理，③是圆心角定理，④⑤是圓周角定理。之后还可以追问是否还有别的结论。

改编：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且点C是弧AD的中点，AD分别与BC，OC相交于点E，F，你能得到哪些结论？

【设计意图】先出结果再思考为什么？还是先思考为什么再出结论？显然后者更具有“学的意识”。这样的改编更开放，对于前段生能够提升他们的思维发散性，中后段学生也可以说出一些简单的结论，不同的学生有不同的数学理解，都能有所收获。教师一定要能够把知识所承载的数学思维通过精心设计的教学呈现出来，把学生看到的图形认知、直观感知转化为有逻辑关系的理性思维，而不是让学生帮助老师完成教学，这才是数学理解的内涵。

五、例题推广

对比两图，前者是知识建构，后者更注重思想方法的指导与提升。这样的一节基于数学理解的复习课既重视基础的夯实，又有逻辑的培养和思维的提升。随后笔者设计了这样一道变式题：

如图，AB是⊙O的直径，C，D是弧AB上两点，点C是弧AD的中点，AB=10，BC=        ，求BD的长.

例题图                                                        变式图

【设计意图】首先，进一步巩固垂径定理、圆心角定理、圆周角定理;其次，学生需要理解定理背后的逻辑关系才能有效添加辅助线，体会其中的思想方法，培养数学思维，感受用数量关系来刻画数学的理性思维。这种数量关系通过几何知识可以深刻到定量，所以说教师的数学理解直接影响学生的数学理解。

例题是数学学习的重要载体，是学生理解概念、定理、掌握学习方法的主要途径。通过对例题的深入研究，追根溯源，架构起知识的桥梁，才能让学生做一道题、通一类题。在方法的梳理过程中去归纳知识、提炼出通性通法，有助于拓展学生思维和逐步提升学生的数学素养。笔者尝试分析了学生的困难点，那就是不知道该怎么添辅助线。其实，辅助线并不是横空出世的，必然是由题目中的条件产生的灵感。

辅助线：

图1：由弧的中点想到垂径定理，因此连接弧的中点C和圆心O;

图2：由角平分线和高线想到等腰三角形，于是延长AC和BD得到等腰△ABE;

图3：由角平分线想到作角两边的垂线。

几何直观指的是利用图形来描述和分析问题，把复杂的数学问题变得具体、形象，帮助学生直观地理解数学，有助于形成问题解决的思路。如果能通过审题、识图，从条件和结论中联想到所需的数学概念、定理、基本图形等，就可以快速地添加出适当的辅助线，从而解决问题。

解法指导：

勾股定理：构造直角三角形、设元、方程、求解，是学生熟悉的方法，学生呈现了3种解法。

解法1：如图1，易求AC=       ，设OM=x，CM=5-x，由勾股定理：AM2=（     ）2-（5-x）2=52-x2，∴x=3，BD=2OM=6;

解法2：如圖2，易证BE=AB=10，AE=        ，设

BD=x，ED=10-x，由勾股定理：AD2=（       ）2-（10-x）2=

102-x2，∴x=6，BD=6;

解法3：如图3，易证BF=BH，AH=DF，利用面积法可得CH=4，勾股定理：AH=2，BF=BH=8，BD=BF-DF=8-2=6。

相似：除了借助勾股定理，识别或构造各种基本相似形，利用相似建立方程来求解也是常用路径。同学们相互补充完善了其他3种解法。

解法4：如图4，BE=AB=10，AC=CE=CD=       ，易证△ECD∽△EBC，       =         ， ∴ED=4，BD=6;

解法5：如图4，也可以利用△ECD∽△EDA求解;

解法6：如图5，易证△BCH∽△BAC，得BH=8，AH=2，BF=BH=8，FD=AH=2，BD=6.

六、教学启示

（一）理解知识的本质

数学教学需要回归数学的本质，不仅要理解基本概念，对其进行深入研究，挖掘表象背后蕴含的数学规律和思想方法，也需要我们感悟用数学的方式去思考问题，努力追求数学的理性精神。数学教育家张奠宙先生曾经说过：有效开展数学教学的根源是教师对数学本质的把握和理解。

（二）厘清知识的关联

在数学教学中，对于同一类型的知识我们可以进行横向比较，寻找它们的共性。当然，数学的学习过程常常是由浅到深、从初级思维到高阶思维，各个知识点之间都有着密切的联系，我们只有基于“事物是普遍联系的”视角来分析现象才能探寻规律。数学的学习必须从整体和系统的高度来把握知识之间的结构，把看似分散的知识理成一条主线进行分析和比较，厘清其中的联系，最终实现融会贯通。

（三）挖掘知识的内涵

数学是思维的科学，数学知识是实现数学课程育人功能的支点。所以，数学的学习不仅仅是掌握数学内容，理解内容背后隐藏的思想方法，更加需要改善学生的思维方式，培养理性思维。我们的课堂教学不能将知识停滞在理解的层面，还应该在运用中理解知识的本质，挖掘知识的内涵，促进学生的思维向更高的层级发展。

参考文献：

[1]章建跃.中学数学课程教材改革的钟摆：以平面几何为例[J].数学教学，2014（7）.

[2]俞锡彬.比较：让数学理解真正发生[J].基础教育研究，2019（6）.

（责任编辑：韩晓洁）