透过有文化味的数学课堂提高数学学科素养

齐娟

[摘要]数学文化是数学作为人类认识世界和改造世界的一种工具、能力、活动、产品，在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学与人文的结合。数学文化是指在数学研究领域中、数学研究对象中、数学研究分支中那些具有历史性、现实性和未来性的文化知识系统。高中数学学科素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。喻平教授曾指出：学生的数学素养哪里来？不是单纯地做题解题，而是透过有数学文化味道的课堂中来。笔者以方延明教授的数学文化理论作为指导进行教学设计，通过“向量的概念及表示”教学具体阐述如何将数学文化渗透到教学中，从而提高学生的数学学科素养。

[关键词]数学文化；数学学科素养；数学本质

方延明教授提出数学文化的“三元结构”，即现实世界、概念定义和模型结构。数学起源于现实世界，特别是现实世界中发生在人与自然之间的诸多问题，是数学科学的基础。人们通过大量观察以及对这些问题间相互关系的了解，包括借助经验的发展，经过类比、归纳，进而抽象出有确切内容和明确含义的概念，然后将这些概念应用到现实世界中去，把问题化归为一种形式结構，这就是我们讲的模型结构。数学概念的抽象、归纳，实际上为建立模型奠定了基础。

一、透过数学文化体系中的“现实世界”提高直观想象

数学文化体系“三元结构”中的“现实世界”是指现实是第一性的，数学是第二性的，没有现实世界的社会活动，就没有数学文化。

数学素养中的直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

当我们打开“向量的概念及表示”一节的教材时，数学的“文化味”扑面而来，湖面上的三个景点的实际问题引发了我们的思考，即教学中的：“为什么要学向量？”——解决现实问题——“生活——数学”。

此处可将生活与数学的关系进一步强化，由“数学——生活——数学”的形式进行。

问题一：请观察右图，你可以“看”到哪些数学问题？

设计意图：题目较为开放，意在引起学生发现六边形的相关关系，如线段长度相等，角相等，线段平行，等等。（数量）

问题二：若右图为一小岛观光的路线图，甲在A地，乙在C地，丙在E处，请问，三个人如何走才能在D处会合？

设计意图：由现实问题引发思考，由图直观观察，除了数量还需考虑其方向的问题。（向量）

二、透过数学文化体系中的“概念定义”提高数学抽象

数学文化体系“三元结构”中的“概念定义”是指数学概念的形成是人们对客观世界认识科学性的具体体现。

数学素养中的数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。

上述“现实世界”中的会合问题仅仅从数量上已无法解决，需要从“科学角度”引入新的量——方向。这样的设置是水到渠成的，既引起了学生的认知冲突，也顺应了学生的认知结构——研究既有大小又有方向的量。

之前学的量均用一个实数即可以研究，我们称之为数量，既有大小又有方向的量我们称之为向量。（本质特征：大小、方向）

学生活动：请举一举学过的既有大小又有方向的量。

设计意图：学生自然能够想到如力、位移、速度等的矢量。这种与其他学科的融入也是文化的一种体现，学习数学不仅是解决数学问题，也要为其他学习而服务。

问题三：既然我们发现了这一新的量——向量，关于它你还想研究些什么呢？

设计意图：从学生的兴趣出发，提高学生学习的主动性。更重要的是，帮助学生建立起“如何研究”的习惯与方法。

预设：由上图的几何图形的直观给出，希望学生可以想到利用“带箭头”有向线段来表示向量。

辨析：有向线段与向量的区别与联系：有向线段是指规定了起点、大小和方向的线段，向量只有大小和方向，可用有向线段来表示向量，即有向线段不等价于向量。

设计意图：通过对二者的辨析，使学生理解向量只与大小和方向有关，这也是内化向量本质的思考，另外即可提出既然向量与起点无关，我们研究的向量均为“自由向量”为下面向量的平行与共线作铺垫。

学生活动：请大家画一个长度为2的向量。

设计意图：引起认知冲突：（1）长度为1的向量多长？（引导学生思考研究向量引入单位元的必要性——单位向量）；（2）只画长度为2，那么方向呢？（再次强化学生注意向量的本质：既有大小又有方向，为探究单位向量的方向作铺垫）

问题：将单位向量的起点放在一起，其终点的轨迹是什么？

设计意图：（1）感受单位向量的方向，为与零向量的方向进行辨析；（2）模长可大可小，引发学生用动态的观点看问题，当缩成一点时，即为零向量，直观理解零向量方向的任意性。

三、透过数学文化体系中的“模型结构”提高逻辑推理

模型结构：数学起源于人类的各式各样的社会实践活动，又从活动中抽象出一般的概念，然后将这些概念应用到实际中去，把问题化为一种结构，即模型。

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维本质。在逻辑推理核心形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能够掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。而向量概念的学习本身就是从特殊到一般再由一般到特殊的思维过程。

我们已经解决了研究向量的基本工具——单位向量与零向量，那么你还想研究一下向量的哪些内容呢？

设计意图：希望可以引发学生自主研究向量间的关系，内化研究数学的思想和方法。

活动设置：请将刚才的六边形中加上一些箭头，来观察向量，并研究一下它们之间的关系。

设计意图：从直观的几何模型中来探讨向量间的关系，利用平面几何中的知识可以类比得到一些相关的结论。

预设：从学生认知的最近发展区出发，由平面几何中线段的相等及直线的平行，学生应该较容易发现向量的大小是相等的，其平行也是应该较容易发现的。

难点：相反向量、共线向量的突破。

突破方法：向量的本質为大小和方向，研究其关系也无非从这两方面出发，引导学生从此方向研究四种关系：（1）大小相同，方向相同；（2）大小相同，方向不同；（3）大小不同，方向相同；（4）大小不同，方向不同。

设计意图：四种关系既可辨析出向量间的关系，内化其数学本质，也可探究出向量是不可以比大小的，只有其模长可以比大小。

问题：什么关系？

设计意图：体会数学的严谨性——严格遵照定义方向相同或相反即为平行；因为其在一条直线上，可称为共线向量。

辨析：（1）共线向量与平行向量的区别；（2）直线平行与向量平行的区别。

设计意图：引起学生的认知冲突，平行与共线的干扰点在于平面知识中，线段是固定的，而向量是自由的，抓住此想法，这两个辨析题即可水到渠成，再次指导学生研究问题可通过数学建模的途径突破。

本节课的难点在于，接触一个与过去认知有冲突的知识，并且相关概念较多，容易混淆，此处，笔者设计一个学生活动来突破这一难点。

学生活动：我们研究过了向量的相关概念：单位向量，零向量，平行向量，共线向量，相等向量，相反向量，你可以试着将它们归归类，说出归类理由吗？

设计意图：学生再次深化理解向量的本质——大小、方向，无论研究什么问题都从这两个要素出发，为今后研究向量的运算打下基础。

由此，本节课的重难点全部突破，学生表面上研究的是纯数学的概念，实际上经历了这样一个过程：为什么要学向量？（生活实际问题所迫）——怎么学向量？（通过数学抽象以及数学建模来突破）——学了向量怎么用？（有了研究向量的工具，即可研究向量的关系，为后面研究向量的运算打下坚实的基础）

什么是数学？曾经有一种非常普遍的说法，即“数学是锻炼思维的体操”，学数学就是为了培养逻辑思维能力。对于数学，绝大多人的印象是严格、抽象或者还有单调、枯燥的。但随着人们对数学更加深层次的认识，人们已经意识到数学是一种文化，是可以被继承和发展的。当我们翻开现行教材时，数学的文化味是扑面而来的，那一幅幅充满“人性化”的插图，那一篇篇“通俗化”的阅读材料，无不透射出当代数学教育的“人性化”“通俗化”“大众化”的教育理念。以弘扬“数学文化”为核心的数学教育才是数学教育，也只有从文化教育出发才能提高数学素养。而在我们的教学过程中，往往过分强调它的“逻辑性”“演绎性”“封闭性”，这样的教学方式，学生只能暂时会解题目，但是却无法体会到数学的文化。要改变这种现状，教材的改革固然重要，但归根到底还是取决于人才机制的变革，取决于教育理念的更新，而一线教师则有着责无旁贷的责任。

学生应该学会用数学的眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。数学学习来源于生活，最后又服务于生活。在后期的学习过程中，遇到一个新的概念时，学生已经会用这样的数学思维来进行思考，比如在学习基本不等式的概念时，笔者利用一个想占便宜的买家小故事引入，在最后知识生成后，请学生思考我们为什么要学习基本不等式时，学生便说为了解决生活实际问题而学习，并总结出此知识点可以用于求最值及证明不等式。相信，在这样的潜移默化中，学生们的数学素养会慢慢提高，并可以形成自己的学习能力，在遇到新的未知时，可以进行自主学习。

参考文献

[1]方延明.关于数学文化的学术思考[J].自然杂志，2009，（01）.

[2]周琳亭.高中数学教学中渗透数学文化教学的研究与实践[D].华中师范大学，2014.

[3]索瑞.数学教育中数学文化教育的理论研究与实践[D].哈尔滨师范大学，2013.

[4]陈敏，吴宝莹.数学核心素养的培养——从教学过程的维度[J].教育研究与评论，2015，（04）.