空间绳系编队的动力学及稳定展开控制研究

周 合，张 帆，黄攀峰

(1. 西北工业大学航天飞行动力学技术重点实验室，西安 710072; 2. 西北工业大学智能机器人研究中心，西安 710072)

0 引 言

空间绳系编队[1]通过系绳将多颗卫星连接起来形成特定结构，不仅具有传统多航天器系统成本低、性能好、可靠性高、灵活性强的特点，而且具有在精确定位的同时可降低燃料消耗、提高寿命等优点，被广泛应用于对地观测和对地定向等空间任务中。

空间绳系编队的稳定展开是编队后续运行的重要保障，对其完成特定空间任务具有重要意义。编队系统稳定展开的难点[2]包括：1)合理的系统动力学模型的建立；2)有效的稳定展开控制方法的设计。现有的关于空间绳系编队的文献表明：对系绳的处理情况极大地影响了系统动力学模型的精度，同时会影响编队稳定展开的控制效果[3]。

以往对空间绳系编队系统动力学建模的研究中，除了少量文献将卫星视为刚体[4]、考虑其姿态影响外，多数文献均将卫星做质点处理。将卫星视为质点时，归纳分析主要的建模方法有以下三种：1)“珠点”模型[5]，仅考虑系绳拉力[6]，或将系绳视为多个由无质量弹性阻尼段连接而成的质点，根据牛顿第二定律[7-8]推导出系统的动力学模型；2)基于Lagrange体系下的系统动力学模型[9-10]，忽略了系绳的影响；3)基于有限元，采用了绝对节点坐标法[11]进行建模。采用拉格朗日法建模时，模型整齐简洁，但失去了系统的弹性特性；采用牛顿法和有限元法时，为了提高建模的精度需要增加系绳中的质点数，而质点过多时又会增加模型的难度和计算量。针对编队系统稳定展开控制的研究，主要体现在：Williams[2,12]研究了平面三角构型绳系编队的最优展开和回收控制；Kumar等[13]采用速率控制对空间绳系编队的展开过程进行了分析。

同时，分层滑模控制[14]在空间绳系系统中已有应用。Ma等[15]研究了输入饱和下多卫星绳系系统的自适应分层滑模控制；Wang等[16]基于二阶分层滑模研究了一种欠驱动绳系卫星系统的有限时间稳定；王秉亨等[17]基于分层滑模设计了绳系拖曳变轨的欠驱动张力控制律；且仿真结果均表明控制效果良好。

针对以往空间绳系编队动力学建模中的不足，以及编队稳定展开控制这一难题。本文首先在传统Lagrange动力学建模的基础上，考虑了系绳中的弹性势能，既保留了系统的弹性特性，又使整体计算量保留在了可接受的范围内。其次根据得到的动力学模型，对绳系编队稳定自旋时的自转角速度进行了定量分析，为之后展开控制时自转角速度的取值提供了理论依据。最后，由于编队系统的欠驱动特性，本文对其展开过程采用了分层滑模控制方法，实现了编队稳定的旋转展开。

1 动力学建模

1.1 系统描述及建模假设

本文所研究的空间绳系编队是由三根系绳和三颗卫星相隔串联而成的平面三角形封闭系统，系绳的长度从几百米到几千米不等。该系统在空间运行时，除了整体绕地球的公转外，还会绕自身质心自转，从而产生稳定的空间旋转平面定向。建立该编队系统的动力学模型时，为了简化并保证模型的准确程度，采取如下假设：

1)相对于系绳长度，卫星尺寸可忽略不计，将三颗卫星视为质量相等的质点。

2)三根系绳原始长度相等，质量相对于卫星可忽略不计，不考虑系绳阻尼和弯曲变形等，系绳只受拉不受压，只考虑其中的弹性势能。

3)除控制力外，整个系统只受到地球的万有引力，忽略太阳光压、电磁力等外力。

4)整个系统作用在开普勒圆轨道上，旋转角速度为ω。

5)只考虑编队系统的面内运动。

1.2 坐标系定义

为建立编队系统的动力学模型，首先给定如下的相关坐标系定义，如图1所示。其中：E-XYZ为地心惯性坐标系；o-xyz为轨道坐标系，原点o始终位于系统质心，x轴始终沿着地心指向质心的方向，y轴在轨道面内垂直x轴并指向系统前进的方向，z轴由右手坐标准则确定。

编队中相关的物理量定义如下：三颗卫星质量分别为m1,m2,m3，且m1=m2=m3，系统总质量为m=m1+m2+m3。三根系绳长度分别为l1,l2,l3。定义自转角θ1,θ2分别是系绳1、系绳2与轨道坐标系x轴正向的夹角。

图1 编队相关参考坐标系示意图Fig.1 The formation’s reference coordinate systems

1.3 动力学模型

空间绳系编队的运动始终位于轨道面内，因此只考虑系统在o-xy平面内的运动。选取绳长l1,l2，自转角θ1,θ2为广义坐标。卫星质点在轨道坐标系中的位置矢量ri(i=1,2,3),可表示为：

(1)

(2)

联立式(1)和式(2)，可得到用广义坐标表示的卫星质点坐标分别为：

(3)

(4)

(5)

编队的动能包括三颗卫星质点的动能，可具体表示为：

(6)

式中：R0为地心指向质心的位置矢量。将式(3)、式(4)和式(5)代入式(6)，整理可得编队详细的动能公式为：

ω)]sin(θ1-θ2)}

(7)

编队的势能可表示为：V=V1+V2。其中：V1表示系统的重力势能，V2表示系绳的弹性势能。重力势能V1可表示为：

(8)

式中：μ为引力常数。对1/|Ri|进行二项式展开并忽略高阶项[18]可得：

(9)

由圆轨道特性可知：

μ=ω2R03

(10)

将式(9)和式(10)代入式(8)，整理可得详细的系统重力势能公式为：

cos(θ1-θ2)]}

(11)

由于系绳具有受拉不受压的特性，根据胡克定律，编队中系绳的弹性势能V2可表示:

(12)

式中：EA为弹性系数。l0为系绳未形变时的长度;系数ei可具体表示为：

(13)

l3可表示为：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：qi=[l1,l2,θ1,θ2]T表示广义坐标，Qqi=[Ql1,Ql2,Qθ1,Qθ2]T表示广义坐标对应的广义力，由系统所受控制力产生。

2 动力学分析

绳系编队完全展开时构型稳定是执行空间任务的前提，文献[2]指出：三角构型编队可以在空间自旋稳定。基于此本研究详细分析了编队自旋稳定时需要满足的条件，具体就是自旋角速度θ′对系统稳定性的影响，为后续的稳定展开控制提供理论依据。

2.1 θ′对编队稳定性影响

系绳具有受拉不受压的特性，编队运行时可以通过自身的旋转，使系绳拉力与自转的离心力平衡，从而保持编队构型的稳定。自转离心力由θ′决定，而系绳拉力与系绳的伸长量有关，只有当系绳实际长度大于原始长度时，系绳中才会产生拉力。

为了得到θ′的值对编队稳定性的影响，令Qqi=0，各状态量取为理想值，即：θ″1=θ″2=0，θ′1=θ′2=θ′，L″1=L″2=0，L′1=L′2=0，代入式(16)后化简可得式(17)。

编队中系绳长度从几百米到几千米不等，因此重力梯度对编队的影响不可忽略。编队稳定运行时，系绳拉力与自转的离心力平衡，又由于重力梯度影响，当系绳方向与x轴平行时，系绳两端卫星产生的重力梯度达到最大，系绳中拉力达到最大，系绳伸长量最大；当系绳方向与y轴平行时，系绳两端卫星产生的重力梯度达到最小，系绳中拉力达到最小，系绳伸长量最小。由于编队构型对称，三根系绳的长度变化量范围相同，因此选择θ1=0(rad)，即系绳1与x轴平行，和θ1=π/2(rad)，即系绳1与y轴平行两种情况代入式(17)，计算可得各系绳长度变化量ε1,ε2和ε3分别为：

(18)

(19)

由于系统构型稳定时要求系绳中均存在拉力，因此各系绳长度变化量均需大于0，即：

(20)

整理可得编队自旋稳定时自转角速度的范围为：

(21)

2.2 动力学仿真验证

为验证式(21)结论的正确性，使用MATLAB对编队系统进行仿真，卫星和系绳的物理仿真参数设置如表1所示，系统自转方向与绕地球方向一致。编队没有外在控制力，仿真时长为15个轨道数。

仿真时分别选取θ′=0.5,θ′=1，系统初始值均为理想情况，即：L10=L20=1，L′10=L′20=0，L″10=L′′20=0，θ10=π/6(rad)，θ20=5π/6(rad)，θ′10=θ′20=θ′，θ″10=θ″20=0。

表1 仿真参数表Table 1 The simulation parameters

θ′=0.5和θ′=1时整个编队在轨道坐标系中的运动情况分别如图2和图3所示。对比可知：θ′=0.5时，编队构型随时间增加出现混乱，编队不稳定，仅靠自身不能保持正常运行；而θ′=1时，编队构型始终保持为三角形，整体稳定旋转，编队能在自身旋转的作用下保持整体的稳定。这与式(21)的结论一致。

图2 θ′=0.5时编队运动情况Fig.2 The formation’s motion when θ′=0.5

图3 θ′=1时编队运动情况Fig.3 The formation’s motion when θ′=1

θ′=1时编队三根系绳的长度变化如图4所示，其长度均保持在略大于1的范围内，这说明系绳均处于拉伸状态，卫星始终受到系绳拉力的作用。编队的自转角速度如图5所示，θ′1,θ′2均略小于初始值，这是由于系统部分动能转化为弹性势能的原因。同时，编队中各系绳长度和自转角速度的值均不完全恒定，而是表现为极小幅度的周期性变化，这是由于编队旋转时，θ1,θ2的连续变化使得编队的受力发生小幅变化所致。但这些变化量均非常小，可以忽略不计。

系绳1长度L1随角度θ1的变化如图6所示，绳长变化量随着编队旋转呈现周期性变化。L1的长度变化约在θ1=0(rad)时最大，在θ1=π/2(rad)时达到最小，这也与前文的分析一致。

图4 各系绳长度变化图Fig.4 The variations of three tethers’ lengths

图5 编队角速度变化图Fig.5 The variations of formation’s angular velocities

图6 绳长L1随角度θ1变化图Fig.6 The variation of length L1 with angle θ1

3 编队展开控制

空间绳系编队的展开控制方法是编队展开的难点之一，其困难之处不仅在于系绳需要在控制作用下完全拉长，而且由于编队稳定运行的需要，整个系统需要在控制作用下达到合适的自转角速度。

3.1 欠驱动控制

由于卫星执行机构精度的限制以及编队所能提供的控制力数量的限制，本文研究的空间绳系编队是一个欠驱动系统。

(22)

对于该欠驱动系统，参考文献[19-20]，采用分层滑模控制方法。取系绳长度的期望值为：L1=L2=L，自转角速度的期望值为：θ′1=θ′2=θ′。控制时共有两层滑模面，第一层滑模面可定义如下：

(23)

由于仅对角度项进行了控制，因此需要将绳长项的信息考虑在控制里面，第二层滑模面具体可表示为：

(24)

式中：各系数的取值分别为

(25)

3.2 稳定性证明

分层滑模控制方法的稳定性包括每层滑模面的稳定性。首先证明第二层滑模面的稳定性。取Lyapunov函数为：

(26)

对式(26)求导，并代入控制力表达式，可得：

(27)

其次证明第一层滑模面的稳定性。由于第二层滑模面是稳定的，sθ1平方可积，因此有：

2α1s1(α2s2+s3)]dτ<∞

(28)

(29)

综上，该分层滑模控制方法是稳定的。

3.3 仿真验证

使用MATLAB对编队的稳定展开控制过程进行仿真，卫星和系绳的物理参数设置如表1，仿真时间为10个轨道数。编队未展开时，整体没有自转，θ′10=θ′20=0，编队初始构型为三角形，取θ10=0(rad),θ20=2π/3(rad)，各系绳初始长度很小，取为L10=L20=L30=0.002。编队展开完成时，L=1，根据式(21)的结论，取自转角速度的期望值为θ′=3。控制力中各参数选取为：c1=c2=4，c3=c4=1，α10=α20=1，α30=α40=1，k1=k2=0.4，e1=e2=0.6。

图7中分别表示控制力作用下系绳长度L1,L2和L3的变化情况。图像表明：约一个轨道数后，三根系绳均可以从初始长度完全展开到期望长度；且稳定后的系绳长度值均略大于1，这说明系绳中均存在拉力；由于拉力的稳定存在，系绳不会松弛，系统构型可以保持稳定。

图8和图9分别表示编队自转角速度θ′1,θ′2以及角度θ1-θ2的变化情况。图像表明：两个角速度的变化大体相同，经过一个多轨道数后，θ′1,θ′2可以稳定在期望值；θ1-θ2的值间接反映了编队中系绳1与系绳2形成夹角的大小，虽然前期角速度有较大震荡，但θ1-θ2始终保持为-2π/3(rad)或4π/3(rad)，这说明系统展开过程中系绳1与系绳2形成的夹角是不变的，即编队构型一直是稳定的。

图7 各系绳长度变化图Fig.7 The variations of three tethers’ lengths

图8 编队角速度变化图Fig.8 The variations of formation’s angular velocities

图9 角度差θ1-θ2变化图Fig.9 The variation of angle θ1 minus angle θ2

图10中分别表示编队展开所需的控制力变化情况。图像表明：约一个多轨道数后，控制力可以稳定在0附近；同时控制力和自转角速度均在前一个轨道数内有较大波动，这是系统展开时兼顾系绳拉长和系统自转的结果。

图10 各控制力变化图Fig.10 The variations of control forces

总体来说，本文的展开控制方法很好的达到了期望的控制效果，系绳完全拉长且系统整体自旋，系绳均处于拉伸状态，系统弹性得以体现。该控制方法为绳系编队的实际展开提供了一个可行的方案。

4 结 论

本文以三角构型为例，研究了空间绳系编队系统的动力学与稳定展开控制。使用Lagrange法建立了系统的动力学模型，并充分考虑了系绳的弹性。定量分析了编队自旋稳定时自转角速度的取值范围，为之后的控制提供理论依据，并通过对动力学方程的仿真验证了所得结论的正确性。研究了空间绳系编队这一欠驱动系统的稳定展开过程，设计了相应的分层滑模控制律，并通过数值仿真验证了控制方法的有效性。该展开控制方法为空间绳系编队的实际展开提供了一个可行的方案。