四个途径，让数学思维更有深度

王冬晖

摘  要：小学数学是训练学生思维的重要平台。在教学实践中，要注重发掘学生的思维深度，引导学生的数学思维向深层次推进。实践表明，在数学教学中，通过问题驱动、多元表征、智慧导读、思维导图四个途径可以让学生的数学思维走向深入。

关键词：数学思维;问题驱动;多元表征;智慧导读;思维导图

小学数学是训练学生思维的重要平台，这就要求教师除了帮助学生掌握基础知识和基本技能外，还要培养学生的数学思维。在教学实践中，要注重发掘学生思维的深度，完善学生思维品质。但是，笔者听课过程中发现，很多教师在课堂上对于学生思维能力的培养和训练依然停留在表面，不利于学生思维深度的提升，也影响知识的理解与学习的迁移。调研表明，数学教师都认同学生思维深度发展的重要性，但缺乏引导的方法与策略，以致教学陷入平庸。因此，积极探寻让学生思维走向深度的途径，是突破教学瓶颈的关键性举措。

笔者通过已有经验的分析与新近实践的探索，筛选出以下四条促进学生思维发展的有效途径。

一、问题驱动——促数学思维深刻

从学科特点来看，问题是数学的心脏。从认知心理来讲，建构主义学习理论强调，让学生在真实的教学情境中带着问题学习，以探索问题的解决方法来驱动和维持学习的兴趣和动机。实践同样表明，以问题驱动的形式让学生在学习过程中逐步走向数学知识的深入理解与建构，是对数学知识内部意义的追寻与理解。学生在探索解决问题的过程中，通过观察、操作、发现、交流、比较、反思等步骤，使数学知识的理解更加深入，数学能力与数学思维也能获得相应提高。

例如，人教版“分数的初步认识”一课，首先通过激发认识冲突：2人平分4个、2个、1个月饼，让学生体会引进“新”数的必要性，由此引出核心问题：

（1）怎样分才是“一半”？“一半”怎样表示？

然后，在引导学生语言规范表达基础上进一步提问：

（2）能不能像这样说一说，怎样得到一个西瓜的？一个长方形的呢？

（3）你能表示出下面图形（图形略）的吗？（师生交流）

（4）通过折一折、涂一涂，都得到了这个图形的，这些有什么相同点？又有什么不同？

（5）除了，你还能创造出其他的分数吗？

（6）你们创造出来的分数有什么共同点和不同点？

可见，问题是激发和引领课堂教学的重要推手，是撬动学生思维的杠杆，是师生之间进行知识和情感传递的重要载体。课上，教师相机找准切入點提出问题，把学生的思维一步步引向深入。学生在问题的驱动下，通过独立思考、动手操作、小组合作与交流，有了这样的收获：虽然图形的形状、大小不同，分法也不同，但都是把图形平均分成2份，涂了其中的一份，就是它的，这是基于直观的抽象概括。学生在“问题串”的驱动下，不仅亲身经历了新知识的发生过程，让思维触及概念本质，而且培养了学生分析、解决问题的能力和创新意识。

二、多元表征——促数学思维灵活

数学多元表征是学生对数学理解的语言化、视觉化等不同形式的表达，它是思维多样化的记载方式，也是数学学习常用的方法。数学的多元表征不仅能促进学生对数学知识内涵的深刻理解，还可以促进数学活动经验的积累以及良好认知结构的建立。

在“口算除法”的新知学习中：

教师通过“60÷3=20”，引导学生思考算理，说明：为什么等于20？让学生自主选择喜欢的方式或借助老师提供的学具来验证60÷3的结果。

学生上台分享想法：

生1：一捆小棒有10根，把6捆小棒平均分成3份，每份是2捆，就是2个十。

生2：先在十位上拨6颗珠子，表示6个十，平均分成3份，每份就有2颗珠子，就是20。

生3：我用6根小棒，每根小棒代表10，把它们平均分成3份，每份就是20。

生4：我用画图的方法。一个圆圈表示10，6个圆圈就有60，平均分成3份，每份就是20。

这些多样化的表征，前三种选用的学具不同，抽象度略有差异，但和图示表征异曲同工，都清楚地表达了算式的含义。

进一步，为引导学生运用数概念抽象地表达算理，教师接着追问：为什么选择的学具不同，可是结果却相同？学生思考后得出：60就是6个十，除以3表示平均分成3份，结果是每份2个十，也就是20。

小学生的思维特点以具体形象思维为主，尤其是低年级的学生，他们需要在活动中感悟知识的生成。操作感知是他们认识数学的重要方式。教师提供多样的学具，为学生自由选择，出现个性化表征提供了必要的条件。学生在表征过程中自发地沟通了算理和算法，进而自然而然地用数学语言说出了“口算除法”背后的“深层算理”，形成了计算的认知结构，为理解数学本质打下了基础。

三、智慧导读——促数学思维创新

数学阅读在数学教学中具有积极的意义和作用，能有效提升课堂教学的质量和学生的数学思维品质。数学的阅读对象决定了它是一种语言理解与数学理解交织的复杂思维过程。在布置数学材料阅读时，教师有必要根据材料和学生的知识水平设计具有连续性或挑战性的问题，引起学生的注意，突出理解重点。学生带着问题阅读，不仅能提高针对性，导引边看边想，活跃思维，而且阅读时积极主动投入，阅读效率更高。

例如，教学人教版数学五年级上册“位置”时，设置了以下导读提纲：

问题一：教室里确定一个同学的位置，需要几个数据？

问题二：你想用怎样的符号来表示位置？

问题三：你能尝试写出你好朋友的位置吗？

问题四：对照课本，你的方法与书本有什么不同？哪一种更合理些？

以上问题设置彰显“四导”：

（1）导向——引导有目的的阅读。问题一引导学生思考，带着解决问题的目的进行数学阅读。

（2）导行——引导阅读后的学生行为。问题二指向学生行为，提示学生在阅读中动手、实践、操作、探究等多种学习方式。

（3）导用——引导阅读后进行应用。问题三激发学生应用，鼓励学生及时将阅读收获进行初步应用。

（4）导创——引导阅读后进行创新。问题四引发学生创造，让数学智慧在不同的学生阅读体验中创造。

这些符合学情的导读问题，使学生的阅读有的放矢，不仅有助于实现教学目标，在阅读中获取知识、深化认识、掌握方法、把握实质，而且也有利于提高阅读的层次和思维的创新，提高学生的数学自主阅读能力。

四、思维导图——促数学思维开阔

思维导图是数学学习常用的手段，通常是从一个主要的中心概念开始，随着个人思维的延伸使用曲线、符号、图片、关键词和颜色等向周围发散为多个树状的结构，是一种培养思维的重要工具。数学活动中应用思维导图可以帮助学生将相关的数学知识及其联系用图画出来，学生根据个人绘制的思维导图能较快地理清知识的脉络，使知识系统化、思维可视化，从而促进知识的融会贯通，发展学生思维的广阔性。

例如，在教学“比的应用”的练习课时，教师出示并提问：“看到你们想到什么知识？”学生从分率、除法、小数、百分数、比等知识展开联想，并画出思维导图（如图2）。与此同时，教师引导学生根据所画的思维导图交流分享各自的想法，并进行举例说明。如：“代表鸡的只数是鸭的只数的”“鸭的只数是鸡的只数的4倍”“鸡和鸭的只数的比是1∶4”“鸡的只数是总数的”“鸭的只数是总数的”……学生结合思维导图，将数学知识举一反三，应用拓展，有理有据。在这个过程中，学生的思维被激活，多角度思路被打开，知识被重新建构联系，表达能力和思维的广阔性得以培养和提升。

总之，数学学科的教学归根结底是数学思维的训练活动。教师只有积极地把学生的数学思维引向深入，加强学生思维深度的教学，才能提升学生的探究能力，促进学生的思考和探究，真正实现培养学生数学素养的目标。