自适应逐步混合截尾MOEE分布的统计分析

肖金安,贺兴时,王 燕

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

Marshall-Olkin扩展指数分布(Marshall-Olkin extended exponential,MOEE)是可靠性试验中一类重要的寿命分布[1-2]。近年来已有一些文献研究了MOEE分布的统计分析[3-5]。文献[6]研究了MOEE分布在平方损失函数下的极大似然估计和贝叶斯估计,贝叶斯估计整体优于极大似然估计,其中贝叶斯估计Lindley方法效果最好。文献[7]给出了该分布的可靠性测试方案,用仿真结果证明了此方案的有效性。文献[8]采用最大似然估计、修正矩估计、L矩估计、最大乘积估计和最小二乘估计等10种方法估计了该分布的参数估计,其中最大似然估计、L矩估计和最大乘积估计效果较好。李国安[9]提出了指数分布抽样基本定理,并得到了四参数二元Marshall-Olkin型指数分布参数的一致最小方差无偏估计。文献[10]基于逐步Ⅱ型截尾寿命试验,建立了MOEE分布产品竞争失效模型,对寿命参数的极大似然、渐进区间及Bootstrap区间进行了估计。袁守成等[11]采用EM算法估计了Marshall-Olkin二元指数分布的参数,克服了利用极大似然估计法不易求解的困难,给出了该分布参数的点估计和区间估计。 文献[12]基于该分布的广义逐步混合截尾模型,计算了未知参数的最大似然估计值及渐进置信区间,贝叶斯估计值和最大后验密度可信区间。

由于高可靠寿命产品的可靠性寿命试验需要较长的试验时间,为在短时间内评估产品的可靠性特征,有学者提出了加速寿命试验[13]。加速寿命试验在不改变失效机理的情况下,使用加大应力的方法加速产品失效,从而缩短了试验时间[14]。研究高可靠长寿命的产品时,加速寿命试验是一种有效的试验方法[15-19]。鉴于此,本文将在自适应逐步混合截尾模型,研究该分布恒加试验的各种可靠性指标。

1 自适应逐步混合截尾恒加试验

对于k个应力水平的恒加试验,其加速应力水平为S1

(1)

(2)

情形1ti1

情形2ti1

假设1 加速应力水平仅影响MOEE分布的尺度参数,即形状参数保持不变,则有α11=α21=…=αk1=α1,α12=α22=…=αk2=α2。

假设2 尺度参数和应力水平之间的关系为对数线性关系,即lnβij=aj+bjφ(Si),j=1,2,i=1,2,…,k,其中aj,bj>0为未知参数,φ(Si)为应力水平下Si的函数。

根据上述假设和自适应逐步混合截尾恒定应力加速失效数据,未知参数为θ=(α1,α2,β1,β2,…,βk),其中α1>0,α2>0,ρ>0,β1j>β2j>…>βkj>0,j=1,2。

2 参数估计

2.1 似然函数

基于应力水平Si下的观测数据,建立似然函数

(3)

基于所有观测数据,建立似然函数

(4)

参数α,βi的极大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE)可通过极大化对数似然函数获得。对lgLi分别关于α,βi求导，得

令式(5),(6)等于0,结果不易计算得出,本文采用拟牛顿法可获得参数的极大似然估计值。

2.2 置信区间

Bootstrap置信区间步骤如下:

根据上述步骤,得置信水平为1-δ的Bootstrap置信区间为

3 数值模拟

假定应力为电压,加速方程为lnβi=-18+5lnSi,考虑2个加速水平S1=38,S2=42,正常应力水平为34。通过计算得到βi的真值分别为β1=1.206 8,β2=1.990 4。预定失效时间分别为τ1=0.3,τ2=0.5。

给定参数值α=2,采用以下3种截尾方案:

方案1R1=R2=…=Rm-1=0,Rm=n-m

方案2R1=R2=…=Rm-1=1,Rm=n-2m+1

方案3R2=…=Rm-1=Rm=0,R1=n-m

表 1 (α,β1,β2)=(2,1.206 8,1.990 4)时,参数的MLE及MSETab.1 MLE and MSE of parameters when (α,β1,β2)=(2,1.206 8,1.990 4)

从表1可看出，应用最大似然方法估计MOEE分布产品自适应逐步混合截尾试验加速寿命试验中，未知参数具有较好的表现。随着样本量ni的增加,参数的均方误差值越来越小,其中方案1效果优于方案2和方案3。

从表2可看出，形状参数的置信区间的区间长度总体上随着试验产品数量和失效数的增大而减小。

表 2 (α,β1,β2)=(2,1.206 8,1.990 4)时,参数的ILsTab.2 ILs of parameters when (α,β1,β2)= (2,1.206 8,1.990 4)

4 结 语

研究了MOEE分布产品自适应逐步混合截尾恒加寿命试验的统计分析问题,利用经典估计方法获得了未知参数的最大似然估计和Bootstrap置信区间,并通过数值模拟研究验证了本文估计方法的可行性。随着样本容量的增大,参数的极大似然估计值越接近参数真值,置信区间的区间长度也明显变短。说明将自适应逐步混合截尾应用于恒加试验中能具有较好的表现。