渗透模型思想 发展结构性思维

四川省成都市武侯实验中学附属小学 唐 斌 付兴容

所谓“高阶思维”，是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力；高阶思维具有发散性、结构性、主动性、批判性等特质。思维的“结构性”是高阶思维的一个重要方面，主要是指有序的、系统的立体化思维方式，具有系统性、迁移性、本质性、创造性等特点。结构性思维，能使方法简洁、分析深邃、决策高效，问题解决能力强。数学教学中，以结构化教学统整数学结构化知识，培养学生结构性思维。教学中渗透模型思想，以“建模”“用模”“变模”“超模”为具体路径，发展学生思维系统性、迁移性、本质性、创造性，培养学生 结构性思维，进而发展学生高阶思维能力。

一、构建数学模型，从“无形到有形”，优化认知结构，发展系统性思维

例如：暑假到了，瑞瑞一家三口自驾从成都到西昌旅游，距离约是450 千米。他们早上9：30 从家出发，上午11：30 到达名山服务区，汽车行驶了150 千米。休息半小时后按原速继续行驶，中午吃饭花了一小时，下午6：00 能到达西昌吗？自驾游已成为现在家庭旅游的交通方式之一，学生在生活情境中会经常遇到此类问题，解决生活中的实际问题更能激发学生学习的内驱力，调动学习的积极性、主动性。学生根据问题及信息梳理问题结构：求结束时间，必须先求经过时间；算经过时间需要路程与速度；但由于题中没有明确告知汽车行驶的速度，因此需要借助“早上9：30从家出发”“上午11：30 到达名山服务区”这两条信息先求出经过时间，再用已学习的“路程÷时间=速度”运算模型，算出汽车行驶的速度。接着算出剩下路程所用时间，再算出总共所花的经过时间，最后算出结束时间，与下午6：00 进行比较。学生在解决此问题过程中，构建了新的认知体系，抓速度不变，构建“路程÷时间=速度”关系模型，系统化思考“余下路程所用时间”的新问题。

二、巧用数学模型，由点及面，深化模型内涵，发展迁移性思维

结构化思维，不仅体现数学模型的系统构建，而且表现在模型的灵活运用上，运用已有的模型解决新问题，深化对模型内涵的理解，发展迁移性思维。模型应用，串式思考，纵向延伸，深入分析问题的本质，如倒数在分数除法算法中的应用，进一步探究“倒数”概念的作用，深入体会“倒数”的本质意义；横向联系，网状思考，建立不同问题间的联系，立体挖掘模型意义，如分数与整数、小数、百分数、比等之间的必然联系。从“纵”“横”角度，从点到面，将知识结构内化为思维结构，提高模型的应用能力。

“以一定的逻辑顺序整合、内化知识结构，是结构化思维的真谛所在。”例如，《小兔请客》（北师大版一年级下册），学生观察情境图收集数学信息“左边摆了2 盘果子，右边摆了3 盘果子，每盘有10 个果子”，提出数学问题：“一共有多少个果子呢？”这是学生第一次接触超过20 的加法计算。用小棒代替果子，借助学具进行操作，让学生摆一摆，说一说有多少根小棒。部分学生借助小棒，将“一盘10个”与“一捆10 根”对应，进行“10个10 个地数”，体现了数数模型的运用与迁移：“1 捆有1 个10，左边的2捆就有2 个10，右边的3 捆就有3 个10，合起来就有5 个10，也就是50。”数数模型进一步发展到加法计算模型：“因为2+3=5，所以2 个10+3 个10=5个10 也就是50。”借助数的意义“2个10 加3 个10 等于5 个10”，运用“10以内加法”模型，拓展到“10 以上加法”模型，纵向联系，进一步体现了加法计算法则的内涵“相同的计数单位相加”。由整数加减法，到小数、分数加减法，横向勾连，都是应用“相同的计数单位相加减”模型进行计算。学生掌握了计算模型，有助于培养学生旧知识解决新问题的思维迁移能力。

学习整十数的加法计算，就是学生学习加法运算的意义，及经历整数、小数、分数加减法计算算理建模的过程。由一个知识点“2 个10 加3 个10”延伸至一类知识“小数、分数的加减计算”，凸显出数学知识结构化，便于学生抽象出数学模型——相同的计数单位才能相加减，这便是将一个问题的解决拓展为一类问题的解决，让学生对数学本质有了全面、深刻的理解，培养学生高阶思维能力。

三、变换数学模型，由表及里，拓展模型外延，发展本质性思维

遵循知识间的逻辑关系，把握知识点在知识结构链中的具体位置，以“刨根问底”的态度，以问题串形式，由表及里，追寻知识的本质，进而发展本质性思维。立体多向思考，突破模型化的思维定式，破解“套模”，变换模型的不同式样，建立模型间关系；从不同角度拓展模型外延，进一步理解数学模型的本质。

在建立牢固的知识结构的同时，建立良好的思维结构。如“鸡兔同笼”问题，学生学会列表法后，再探讨多种方法，拓展问题解决模型，进一步提出问题，以“问”促进思考，优化思维结构。如“还有哪些方法？你觉得哪种方法更简单？这些方法分别适用于哪些情况？……”学生尝试其他方法如极端假设法、任意假设法、除减法、盈亏法、比例分配法、布列方程法等，在多种方法的对比中，“以一带多”，明白此类问题的内涵。改变模型条件，扩大模型外延，运用联系的思想，由表及里，认识模型本质。引导学生发现“鸡兔同笼”问题的多种表现形式，明确问题的本质都是“猜想”“转化”等数学思想的体现，抓住了本质，方可举一反三。如三轮与四轮车并存、运货运费中赔偿问题、晴天雨天摘果子问题等，都可以用“同笼”方法解决。由“鸡兔同笼”问题基本模型“已知鸡兔头之和与足之和，求鸡兔各有多少只”，到变换条件“已知鸡兔头之和与足之差”“已知鸡兔头之差与足之和”“已知鸡兔头倍数与足之差”“已知鸡兔头倍数与足之和”“已知鸡兔头之和与足倍数”等，求“鸡兔各有多少只”；如此拓展了“鸡兔同笼”的问题解决基本模型，进一步巩固“假设”“转化”的数学思想，灵活运用列表法或方程法解决问题，在建立知识结构的同时，优化思维结构，发展解决问题的高阶思维 能力。

四、超越数学模型，从有形到无形，深化数学思想，发展创造性思维

再如，一个长方体，如果长增加2 厘米，则体积增加80 立方厘米；如果宽增加3 厘米，则体积增加150 立方厘米，如果高增加4 厘米，则体积增加320 立方厘米。那么原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。学生发现以“长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2”计算模型无法解决此问题，需要运用原始模型——表面积概念“长方体各面面积之和”，部分学生借助画图，突破原有的认知结构，借助转化的数学思想，超越与突破了基本计算模型，找到新的计算方法。根据题目信息间的关系，重新建立“体积÷长=左（右）面面积”“体积÷宽=前（后）面面积” “体积÷高=上（下）面面积”“（左面积+前面积+上面积）×2=表面积”计算结构。虽建立了长方体表面积公式的数学模型，但由于此问题比较抽象，学生的空间观念不强，因此仅靠读题无法找到数学信息与问题之间的联系。画图中运用转化思想把抽象的数学问题用具体、形象、直观的图示表示出来，引领学生找到解决问题的关键，让学生感受到“柳暗花明又一村”。运用转化思想不仅提高了学生解决问题的能力，提高了学生灵活运用数学模型举一反三的能力，培养了他们的创造性思维，促进高阶思维能力发展。

数学课堂教学渗透模型思想，培养学生从混乱中找到顺序，从零散中找到关系，从发散中找到核心，从现象中抽象出本质，从变化中学会创造的思维能力，促进学生结构性思维能力的提升，从而发展学生高阶思维能力。方法是路径，思想是灵魂。没有思想的方法仅是呆板工具；蕴含思想的方法，才有强大生命力！