具有非线性发生率及隔离措施的随机SIQRS传染病模型的研究*

阳开荣韦煜明

(广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541006)

0 引言

近年来,由于各种传染病的出现给人类的健康带来了巨大的伤害与损失,而从传染病动力学的角度研究传染病的传播因素为传染病预防与控制带来了一定程度的帮助.在以往的一些动力学模型中通常考虑的是确定型的模型,但在实际生活中,传染病的流行在一定程度上会受到各种不确定因素的影响,比如环境噪声,很多学者在研究传染病时也考虑到这个因素.[1-6]文献[6]中,蔡等人考虑了干预策略下具有传染性的随机SIRS传染病模型

文献[6]中作者运用了Markov半群理论讨论了传染病的持久性与灭绝性,并得出白噪声会影响传染病的爆发.

受文献[6]的启发,以及考虑到环境噪声因素和人为干预隔离措施,本文考虑以下具有非线性发生率及隔离措施的随机SIQRS传染病模型

其中S(t),I(t),Q(t),R(t)分别表示易感者、染病者、隔离者及恢复者在时刻t的人口数量.A为易感人口输入率,μ表示个体自然死亡率,α表示个体因病死亡率,β为接触率,η为恢复者失去免疫力后再次成为易感者的概率,γ和ζ分别为染病者和隔离者的恢复率,δ为隔离率,B(t)为标准布朗运动,σ2表示白噪声强度.

1 全局正解存在唯一性

令(Ω,F,(F)t≥0,P)为满足(F)t≥0单调递增右连续,且F0包含所有零测集的完备概率空间.我们定义以下正不变集

定理1对于任意给定的初值(S(0),I(0),Q(0),R(0)),系统(2)存在唯一的正解(S(t),I(t),Q(t),R(t)),并且该解以概率1属于ℝ4+,即

2 疾病的灭绝性与持久性分析

2.1 疾病的灭绝

2.2 疾病的持久

例3 对于初值(S(t),I(t),Q(t),R(t))=(0.9,0.1,0,0)取以下参数本文研究了具有非线性发生率及隔离措施的随机SIQRS传染病模型,证明了系统(2)全局正解的存在唯一性,给出了疾病灭绝与持久的条件.通过理论分析与数值模拟证明了环境噪声与人为隔离措施对疾病有抑制作用,因此,我们可以通过增加噪声的强度以及进行隔离措施来抑制疾病的爆发.

图1 系统(2)(S(t),I(t),Q(t),R(t))的轨迹图Fig.1(S(t),I(t),Q(t),R(t))trackdiagramofsystem(2)

图2 系统(2)(S(t),I(t),Q(t),R(t))的轨迹图Fig.2(S(t),I(t),Q(t),R(t))trackdiagramofsystem(2)

图3 系统(2)(S(t),I(t),Q(t),R(t))的轨迹图Fig.3(S(t),I(t),Q(t),R(t))rackdiagramofsystem(2)