非线性SEIR流行病模型的平稳分布

宋宇恒，仲崇阳，韩七星

(长春师范大学数学学院，吉林 长春 130032)

(1)

其中：S(t)表示在t时刻易感者的密度；E(t)表示在t时刻潜伏者的密度；I(t)表示在t时刻感染者的密度；R(t)表示在t时刻恢复者的密度；Bi(t)表示独立的布朗运动；σi为噪声强度；A表示单位时间成为易感者的新生儿的数量；q(0≤q≤1)为已接种的新生儿比例；β为易感者与感染者之间的转移系数；d1为易感者的自然死亡率；d2为疾病潜伏后所诱发的总死亡率；d3为感染者的死亡率与因病死亡率之和；d4为恢复者的死亡率；1/α为潜伏状态的平均时间；γ为感染者的恢复率.

1 系统(1)的平稳分布

引理1[15]假设存在有界区域U⊂El，有以下条件成立：(ⅰ)存在邻域U及其某邻域，使得扩散阵A(x)的最小特征值是非零的；(ⅱ)当x∈ElU，由x出发的轨道到达集合U的平均时间τ是有限的.则Markov过程x(t)存在不变分布μ(·)，且对所有的x∈El，使得对任意的Borel集B⊂El，

对所有的x(t)∈El均成立，其中f(x)为关于测度μ的可积函数.

建立一个C2-函数Q(S，E，I，R)，

Q(S，E，I，R)=P(-logS-c1logE-c2logI)+(S+E+I+R)ρ+1-logS-logE-logR∶=
PV1+V2+V3+V4+V5.

P>0是充分大的正数，ρ是充分小的正数且P，ρ满足

(2)

(3)

(4)

(5)

由于f是由(3)式定义的，可得

(6)

(7)

(8)

由(4)—(8)式可得

考虑有界区域

其中ε1，ε2>0是充分小的正数，并满足下列条件：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

考虑下面8种情况：

情况1 (S，E，I，R)∈D1.

满足条件(9)，从而LV≤-1.

情况2 (S，E，I，R)∈D2.则由条件(10)可得

情况3 (S，E，I，R)∈D3.则

令

(16)

则由(11)与(16)式，有

情况4 (S，E，I，R)∈D4.由条件(12)和(16)可以得到

情况5 (S，E，I，R)∈D5.由(13)式得

情况6 (S，E，I，R)∈D6.由(14)式得

情况7 (S，E，I，R)∈D7.由(15)式得

情况8 (S，E，I，R)∈D8.由(15)式得