基于SEIR的一类具有潜伏期的传染病模型

◇成都师范学院数学学院 谭双凤 李 卓 杨晓芳

全球新发传染病不断出现，复杂且难以干预。具有潜伏期的传染病更加复杂，影响更加重大，故对传染病的干预措施十分重要。基于SEIR模型对具有潜伏期的传染病建立病毒传播微分方程模型，对其传播机制进行相应的干预从而得到有效防控。以新冠肺炎病毒的传播数据为例，建立新冠病毒传播微分方程模型，应用MATLAB进行求解，分析其传播机制和规律对病毒施行相关干预措施，从而得到有效防控。

全球新发传染病不断出现，复杂且难以干预。具有潜伏期的传染病更加复杂，影响更加重大，故对传染病的干预措施十分重要。基于SEIR模型对具有潜伏期的传染病建立病毒传播微分方程模型，对其传播机制进行相应的干预从而得到有效防控。以新冠肺炎病毒的传播数据为例，建立新冠病毒传播微分方程模型，应用MATLAB进行求解，分析其传播机制和规律对病毒施行相关干预措施，从而得到有效防控。

传染病一般都具有一定的潜伏期，不同的传染病潜伏期不同，传染病的传播途径多种多样，接触面也十分广，因此传染病对人类健康有着重大影响。对其进行早期干预，并进行防控研究，施行防控措施显得尤为重要。2019年12月，一场突如其来的新型冠状肺炎疫情打乱了人们的生活秩序。我国及时的干预措施将疫情的影响降到最低。由此，对传染病的传播研究和防控研究应更加重视。要从多方面、利用多种方法建立对各种不同传染病的病毒传播模型，分析每种方法利弊，精确性等，从而制定出适合各种传染病的干预措施，进行早期干预。

1 SEIR模型的分析

1.1 SEIR模型符号定义

S、E、I、R模型分别代表以下四类人群。S类为易感者，指未得病者，但缺乏免疫力，与感染者接触后容易受到感染；E类为暴露者，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人；I类为感染者，指感染了传染病的人，可以传播给S类成员，将其变为E类或I类成员；R类为康复者，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

1.2 SEIR模型适用原理

对于讨论具有潜伏期的传染病，显然传统的传染病模型SIR模型已不再适用。在此基础上，我们还需考虑一类需要一段潜伏期才能判断是否感染的人群，即暴露者。所以，对于存在易感者、暴露者、感染者和康复者四类人群且有潜伏期的疾病，SEIR模型更为适用。

2 基于SEIR模型对具有潜伏期传染病的模型建立

2.1 模型假设

影响模型的因素较多、较复杂，故对其做以下假设。假设人口总数为常数且足够大；不考虑人口迁出与迁入率；不考虑人口自然出生率与死亡率；不考虑免疫期，即不考虑治愈者重新被感染；所涉及比例均小于等于1。

2.2 S、E、I、R四类人群之间的关系

易感者接触了未被隔离的感染者后，α比例会被感染变成感染者，γ比例会被暴露成为暴露者；感染者在接受隔离治疗后，β比例会被治愈成为康复者，η比例会死亡。暴露者在接触感染者后，μ比例会被感染成为感染者，λ比例不会被感染而成为易感者。

2.3 符号说明

N为t时刻人群总数，s9为易感者初始人数，e0为暴露者初始人数，i0为感染者初始人数，r0为康复者初始人数，α为易感者被感染的概率，β为感染者康复的概率，η为感染者死亡的概率，μ为暴露者感染的概率，γ为易感者变为暴露者的概率，λ为暴露者变为易感者的概率，t为传染病传播天数。

2.4 病毒传播模型微分方程

人口总数N始终不变，即第一个式子左边N在任何时刻都等于右边易感者、暴露者、感染者、康复者人数之和。第二个式子左边为t时刻易感者变化人数，右边为暴露者变为易感者的人数减去易感者被暴露变为暴露者的人数，再减去易感者被感染的人数。第三个式子的左边为t时刻暴露者变化人数，右边为易感者被暴露变为暴露者的人数，减去暴露者变为易感者的人数，再减去暴露者被感染的人数。第四个式子左边为t时刻感染者变化人数，右边为一部分易感者被感染的人数与一部分暴露者被感染之和，减去患病死亡人数，再减去康复者的人数。第五个式子左边为t时刻康复者变化人数，右边为一部分感染者康复人数。第六个式子表示暴露者要么被感染，要么会变为易感者。

3 以新冠肺炎数据佐证

3.1 各比例的确定

由相关文献可知，感染率α为0.336，治愈率β为0.198，死亡率η为0.016。由相关文献可知，暴露者有45%的概率变为感染者，则μ为0.45；暴露者有55%的概率变为易感者，则λ为0.55；易感者暴露的概率γ为0.55。某国2020人口总数N为143,964,709。

3.2 各初始值的确定

初始时刻没有人感染该病毒，即初始感染者i0值为0，初始暴露者e0值为0，初始康复者r0值为0，即所有人初始时刻都未被感染，即初始易感者s0值为N。

3.3 模型求解

应用软件MATLAB解新冠病毒传播微分方程组，代入新冠疫情下比例α、β、η、μ、γ、λ的数值，以及易感者、感染者、暴露者和康复者，对其进行化简最终得到关于的函数。

数学角度分析该函数式，当t在60天范围内时，其感染者人数在0-16天内缓慢增长（几乎没有增长），对应了新冠肺炎潜伏期为14天左右。之后感染者病症开始出现，随后开始被确诊，感染者人数在17-36天内快速增长，并在36天左右达到峰值。随后感染者人数急剧下降，说明病毒得到干预，感染者人数得到有效控制。

4 对新冠肺炎的防控研究

据国家卫健委报道，2019年12月8日是武汉卫健委官方通报的最早发布日期。12月30日国家卫健委专家组抵达武汉，要求及时追踪统计救治情况。随后全国各省市开始施行并落实“早预防、早发现、早报告、早隔离、早治疗”措施。加强重点时段、重点地区、重点人群疫情防控。在国家高度重视且大力落实防疫工作下，疫情得到有效控制。当前，全球疫情仍处于大流行状态，全国人民也没有丝毫松懈，积极注射疫苗、出行戴好口罩、勤洗手等等。现各省份也在落实各方面防控措施，全力防范风险人员输入和输出，加大风险人群排查工作力度，重点做好农村地区疫情防控，进一步强化早期监测预警。