开区间内连续函数最值问题的探讨

黄明秋

(长沙航空职业技术学院，湖南 长沙 410124)

我们知道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定存在最大值与最小值，并且函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值只能在区间(a,b)内的驻点处、不可导点处，以及在区间的端点处取得。因此，求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最值，只需求出以上3种点处(存在的话)的函数值，然后比较这些函数值的大小，即可得出函数的最大值与最小值。

同时，我们也知道开区间(a,b)内的连续函数f(x)不一定存在最大值与最小值。那么如何比较全面地解决开区间(a,b)内的连续函数f(x)的最值问题呢？

1 下面分以下三种情形进行讨论：

1.1 对于有限开区间(a,b)内的连续函数f(x)，如果

那么，可以当成求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最值。

同时，上述方法对于函数f(x)在区间[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞),(-∞,+∞)连续的最值问题可以按照下面的方式解决。

最后，应当注意确定有没有最大值与最小值时，只有当所取最值点是在区间(a,b)或(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,+∞)内的驻点处、不可导点处，以及在区间的端点(半开半闭)处时才存在。也就是说如果某最值点取在所设的极限值所对应的点(虚拟点)处时，该最值是不存在的。

例1求函数y=f(x)=sinx-xcosx在区间(0,4π)内的最值。

解y′=cosx-cosx+xsinx=xsinx

求出驻点x=π,2π,3π

又f(x)=π,f(2π)=-2π,f(3π)=3π

所以该函数只有最小值-2π，没有最大值。

例2求函数y=x2e-x在[0，+∞]内最值。

解y′=2xe-x-x2e-x，求出驻点x=0,x=2

注意本函数只有一个最小值点x=0。

例3求函数f(x)=xe-x2的最值。

解该函数的定义域为(-∞,+∞)

1.2 对于有限开区间(a,b)内的连续函数f(x),如果两个极限中至少有一个为不存在，且该不存在为+∞或-∞

(1)当某极限为+∞时，则说明该函数一定不存在最大值；

(2)当某极限为-∞时，则说明该函数一定不存在最小值；

(3)当两个不存在的极限分别为+∞和-∞时，则说明该函数既不存在最大值，也不存在最小值。

注意：(1)极限存在时的处理同第一种情形。

(2)上述方法对于函数f(x)在区间[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞)、(-∞,+∞)连续的最值问题可以按照第一种情形方式处理。

例4求函数y=x3-3x2-9x+2在(-2,+∞)内最值。

解y′=3x2-6x-9，求出驻点x=-1,x=3

所以，该函数在x=3处取得最小值-25，但该函数不存在最大值。

1.3 对于有限开区间(a,b)内的连续函数f(x)，如果两个极限中至少有一个为不存在，且该不存在既不为+∞，也不为-∞。但存在无限趋近于它的两个子列和使得两个子列的极限一个为+∞，另一个为-∞。那么该函数一定既不存在最大值，也不存在最小值

注意：(1)此时，无需再考察端点与驻点、不可导点的情况。

(2)上述方法对于函数f(x)在区间[a,b)、 (a,b]、(-∞,b)、(a,+∞)、(-∞,b]、[a,+∞)、(-∞,+∞)连续的最值问题可以按照第一种情形方式处理。

例5求函数f(x)=cosx+xsinx在[0，+∞)上的最值。

解取无限趋近于+∞两个子列

所以，该函数不存在最值。

解取无限趋近于0+两个子列

所以，该函数不存在最值。

2 总结

综合上面的讨论，连续函数的最值问题得到了比较全面的解决。