综合考虑经济性与效率的换热网络多目标约束优化方法

2020-05-15王磊陈玉婷徐燕燕叶爽黄伟光

化工学报 2020年3期

王磊，陈玉婷，徐燕燕，3，叶爽，黄伟光，3

（1 中国科学院上海高等研究院，上海201210； 2 中国科学院大学，北京100049； 3 上海科技大学物质科学与技术学院，上海201210）

引言

当今世界的能源与环境问题日益严重，节能减排已经成为社会可持续发展的重要议题。换热网络（heat exchanger network,HEN）通过合理分配工艺物流的能量达到提高能源利用效率的目的，在高能耗的石油、化工、冶金等过程工业的节能环节中扮演着重要的角色，优化换热网络的性能对节约能源与保护环境具有重要意义[1-2]。在1965 年，Hwa[3]于美国化学工程协会上首次提出了换热网络的最优化问题之后，经过五十余年的发展，目前关于换热网络优化模型的研究方法主要分为两种，热力学方法和数学规划法[4]。1971 年,Hohmann[5]第一次介绍了基于热力学原理可以得到给定换热网络的最小公用工程量。在1983 年，Linnhoff 等[6]以热力学第一定律为基础提出了夹点设计方法（pinch technology），将最大能量回收（maximum energy recovery, MER）作为目标来设计换热网络，Asante等[7]将该夹点理论拓展应用于现有过程系统的节能改造项目中，取得良好节能效果。与此同时，为了使换热网络的优化更接近实际工程，研究者们也开始考虑投资费用，Yee 等[8-9]基于数学规划法建立了分流分级的换热网络超结构模型，该模型使用最低年均总成本（total annual cost,TAC）为优化目标来设计换热网络，受到学者们的广泛认同[10-11]。

随着计算机技术的迅速发展，换热网络多目标优化的理论愈发受到重视，国内外学者不仅以包括换热器数目、换热面积、公用工程量在内的换热网络多种经济性指标为目标，还以包括温室气体排放量在内的环境影响度、柔性与可操作性、财务风险管理等为目标[1,12-15]，建立了众多不同的多目标优化模型。Jin 等[1]通过优化最小传热温差与燃料种类，将环境影响度与经济性两个目标按照一定的权重系数进行同时优化，达到节能减排的目的；Pavão等[14]采用一种元启发搜索算法对包括费用和CO2排放量的多目标模型进行优化，结果显示，不仅环境影响系数更低，而且费用也具有更大的竞争力；Kang 等[15]将热泵系统与换热网络耦合，提出一种多目标分步改造策略，将本来需要公用工程冷却的部分能量作为热泵的热源，以获得经济性最优的CO2减排方案。实际上，换热网络优化问题在结构上可以分为两部分：冷热流股之间进行换热的内部换热部分和需要与公用工程换热的剩余流股部分，换热网络最低费用的核心是优化内部换热部分的换热器分配方案，而影响换热网络的环境影响度、耦合热功系统能量来源等问题的因素是剩余流股部分的能量品质，这两个部分互相影响，降低内部换热部分的不可逆损失会提高外部剩余流股部分的能量品质，因此解决换热网络综合优化问题就要从不同的角度更合理全面地权衡这内外两部分。

大多数文献中的换热网络年均总成本其本质仍然是以热力学第一定律为理论基础计算能耗费用，只考虑了网络内部能量回收的数量大小，忽略了回收能量的品质差别以及换热网络的环境影响度及耦合系统能量来源等问题[16]。在换热网络能量“量”的回收过程中，不可逆损失导致了回收能量品质的下降，这种品质的变化可基于热力学第二定律用分析法、熵产法来评价，Hamsani 等[17]将分析方法与夹点法结合，来优化流股换热过程中的传热温差，进而降低潜在的做功损失；Cheng 等[18]提出了基于熵产最小理论的传热熵阻，通过对简单双流股换热器和换热网络的案例分析，验证了更小的传热熵阻能够一直表示更好的传热性能。过增元等[19-20]提出一个用来描述物体传递热量能力的物理量——“”，它可用来分析流体热量的传递效率[21-23]，能够更直接地反映换热网络能量品质的回收情况。在优化设计单个换热器时，柳雄斌等[24]通过比较熵产极值准则和耗散极值准则的差别，得出参与热功转换的换热器取熵产最小优化准则较好，而对仅进行热量传递的换热器取耗散最小优化准则较好的结论。Zhang 等[25]以空调系统分析为例，通过(1-T0/T)-Q 和T-Q 图对比分析和的区别，能够在T-Q 图中通过面积直接体现不可逆损失，而不能。但是鲜有文献结合耗散理论指导如何利用数学规划法优化换热网络，相对于熵S=Q/T 和Ex=Q(1-T0/T)用Q 与1/T 的表达方程，G=QT/2 用Q 与T 表达第二定律，它的一阶微分方程dG =是齐次线性的，便于算法求解优化问题的Hessian 矩阵，而却是非齐次非线性的。通过与单个换热过程的类比，针对换热网络也可利用耗散理论来指导换热网络的优化——代表不可逆损失的耗散越小，效率越高，换热网络能量回收的品质就越高。然而提高效率势必会增大换热器的面积，造成投资费用过高，因此，仅以效率为目标设计换热网络会偏离实际工程。

综上所述，本文首先进行换热网络综合的问题描述，再针对换热网络优化中不仅要考虑回收能量的“量”，还要考虑能量回收过程中“质”的耗散问题，建立综合能量回收数量、品质并同时考虑换热网络经济性的MOMINLP 模型，再采用分步优化方法将多目标问题转化成两个单目标问题：先解得最低TAC，通过松弛系数ε 将费用控制在可以接受的范围内，以此求解最大剩余流股流(surplus entransy, SE)表示的换热网络最高效率(maximum entransy efficiency,MEE)结果，最终可以得到满足最大能量回收量并且在成本可控前提下具有最高效率的换热网络布置方案。最后通过多目标约束优化方法对经典的10SP1 算例进行计算求解，得到综合经济性与效率的换热网络最优综合设计方案。

1 换热网络的热力学分析

1.1 换热网络的问题描述

如图1所示，换热网络问题一般可被描述为：给定H 股热流体I ={i|1,…,H}，它们需要从各自的进口温度Th,i,in被冷却至各自的目标出口温度Th,i,out；给定C 股冷流体J ={j|1,…,C}，它们需要从各自的进口温度Tc,j,in被加热至各自的目标出口温度Tc,j,out。同时，每股流体的热容流率CPh,i和CPc,j也是已知的。冷流体和热流体之间可以通过投资换热器单元HE进行换热，从而互相回收冷、热流体之间的能量，并分别增高或降低冷、热流体的温度使它们可以尽量达到各自的目标出口温度。最后没有达到出口目标温度的流股，则需要引入额外投资的热公用工程HUj和冷公用工程CUi分别对其进行加热或冷却至目标出口温度。

1.2 换热网络中的能量回收量分析

图1 换热网络问题示意图Fig.1 Schematic diagram of HEN problem

图2 换热网络总组合曲线Fig.2 HEN composite curves

在图2 所示的T-Q 图中，纵轴T 代表温度，即热势，横轴Q表示换热量。在T-Q图中，所有热流体可以组合成热组合曲线，总热值为Qh，如图2中红色曲线所示；所有冷流体可以组合成冷组合曲线，总热值为Qc，如图2中蓝色曲线所示，其中虚线部分代表可能的任意曲线[6]。在T-Q 图中，将换热网络整个换热过程分成三个部分：内部热量回收Qex段，剩余热流股Qcu段，剩余冷流股Qhu段。而换热网络所含有的总热量值是一定的，它是冷热流股所含热量值的总和，表示为

在图2 中，夹点（pinch）是热组合曲线与冷组合曲线重合部分温差最小的位置，此处的温差为换热网络夹点温差ΔTpinch，也是夹点处某换热器的换热温差。热组合曲线与冷组合曲线的重合部分投影到Q 轴上为换热网络内部热回收量Qex，由于Q 为过程量，组合曲线可以通过沿着Q 轴平移缩小ΔTpinch，增大内部热回收量Qex。然而考虑到换热器的面积不能无限大，换热器两侧的热流体与冷流体间存在大于0的最小传热温差ΔTmin。因此当ΔTpinch= ΔTmin时组合曲线不能继续平移，此时换热网络的Qex达到MER[6]。左下方热流体多出的线段投影到横轴Q 上为额外需要的冷公用工程Qcu，右上方冷流体多出的线段投影到横轴Q 上为额外需要的热公用工程Qhu，因此求出换热网络的MER，即可得到最小公用工程用量。

1.3 换热网络中的不可逆损失分析

过增元等[19]提出的描述物体传递热量能力的物理量——，即物体具有的能量品位，定义为

对于压力和容积不变的换热网络，换热流体的比定容热容cv与比定压热容cp基本相等，因此换热流体的流可表示为

换热网络由多个换热器组成，每个换热器的不可逆换热过程中都存在温差使得流体的部分在换热过程中被耗散，与热量值对应地，换热网络不可逆损失也分为内部换热过程的流耗散，剩余热流股和冷流股的流这三个部分。这三部分流的总量是由进入换热网络的总流和流出换热网络的总流决定的

Chen 等[31]引入T-q 图从传热过程不可逆性的角度直观分析传热过程的性能，并指出图中冷热流体换热曲线围成的面积代表流耗散，即换热过程中的不可逆损失，如图2 中Th,inTh,r,outTc,inTc,r,out和图3 中Th,inTh,r,outTc,inTc,r,out所围成阴影部分的面积，表示为

图3 改造后的换热网络组合曲线Fig.3 HEN retrofit composite curves

用Th,r,out、Tc,r,out分别表示热、冷流体从内部换热过程出口时剩余流股的初始温度，则换热网络剩余流股的总流（SE）为

如图3 所示在内部换热量Qex不变的条件下，通过分流调整图2 中流股的流量，减小换热网络内部流耗散G˙diss[22-23]，以提升换热网络的效率η，因此，剩余流股总流SE 也就增大。而增大SE 会使得热剩余流股的初始温度Th*,r,out相对于图2 升高ΔTh,Rt，冷剩余流股的初始温度Tc*,r,out相对于图2 降低ΔTc,Rt，热、冷剩余流股的传热能力都增强了，并且根据式（6）可得到此时的SE 增大了

2 换热网络的多目标数学模型

2.1 目标函数

结合第1节中对换热网络的热力学分析与实际工程应用需求，优化换热网络需要考虑的设计准则有：①最少换热器数目；②最小换热器面积；③最小公用工程量；④最高效率。其中，对①②③三个准则的优化方法是，根据实际工程经验分别对其赋以一定的价格权重系数，将其线性整合成为一个年均总成本函数TAC[9]，但是评判能量品质回收情况的效率在物理意义上并不能直接按照价格分配权重系数。

换热网络的超结构模型假设有K 级，每级内的热流股最多C股支流，冷流股最多H 股支流，一般取K=max{H,C}，如图4 所示该超结构模型能使换热网络内部冷热流股之间尽可能“充分”换热。假设换热流体流动为一维定常，与环境没有热量交换，忽略流体动能和势能的变化。根据上述设计准则，换热网络多目标规划数学模型的目标函数表达式概括为

式中，f1= costUTS为换热器固定投资费用；f2=costHES为换热器面积费用；f3= costHUS为热公用工程费用；f4= costCUS为冷公用工程费用；f5= MEE 为换热网络的最高效率。w1、w2、w3和w4分别是f1、f2、f3和f4的价格权重系数。

图4 换热网络超结构模型Fig.4 HEN superstructure model

通过夹点分析得到最大能量回收量MER 的过程称为第零次优化计算

式中，zijk是0-1变量，表示第i股热流体和第j股冷流体在第k 级是否存在换热，Qijk表示第i 股热流体和第j股冷流体在第k级的换热量，下文中除特别说明外，对于所有的i,j,k都有i ∈I,j ∈J,k ∈K。

第一次优化计算的目标函数为最小年均总成本TAC

换热器固定投资费用为

式中，β1为换热器固定投资费用系数，zci表示第i股热流体末端是否需要冷却，zhj表示第j股冷流体末端是否需要加热。

换热器面积费用为

其中，

Areaijk表示在第k 级中第i 股热流体和第j 股冷流体之间换热器的面积；MTD 为一个换热器两侧的平均温差，主要有两种计算方式[32-33]：假定冷热流体温度线性变化的算数平均温差AMTD，在整个换热器面积上取积分平均值的对数平均温差LMTD

ΔTmaxijk和ΔTminijk分别代表一个换热器两端的传热温差，β2表示换热器面积操作费用，α 表示换热器面积指数系数，λ 表示换热器总传热系数。多数学者认为采用LMTD 更接近换热器实际物理模型[8,11]，但是这给求解算法带来一定难度，杨世铭等[32]指出LMTD 总是略小于AMTD，当≤1.7 时差别小于2.3%。实际上，考虑所建立的换热网络数学模型的性质不变，采用线性的AMTD 相对于复杂非线性的LMTD更便于求解计算。

公用工程费用为

式中，β3、β4分别为冷、热公用工程的操作费用系数；Qcu,i表示第i 股热流体需要的冷公用工程量；Qhu,j表示第j股冷流体需要的热公用工程量。

2.2 约束条件

⑴每个流股分流时的质量平衡

式中，CPh,ijk和CPc,ijk分别表示第i股热流体和第j 股冷流体在第k 级换热时热、冷支流股的热容流率；CPh,i,in和CPc,j,in分别表示热、冷流股的入口热容流率。

⑵每个换热器两侧的能量平衡

该模型考虑等温混合条件，Th,ik和Tc,jk分别表示第i股热流体和第j股冷流体在第k级的温度。

⑶每条流股上的总热平衡

式中，Th,i,in表示第i 股热流体的入口温度，Tc,j,out表示第j股冷流体的出口温度。

⑷每条流股的入口温度

式中，Th,i1表示第i 股热流体在第1 级的温度，Tc,j(K+1)表示第j股冷流体在第K+1级的温度。

⑸换热器的最小传热温差约束

式中，ΔTmin表示一个换热器的最小传热温差；Γ 表示温差的上限；Tcu,in表示冷公用工程的入口温度;Thu,in表示热公用工程的入口温度。

⑹每条流股的温度逻辑约束

⑺冷、热公用工程负荷

⑻换热量边界逻辑约束

式中，Φ表示换热量的上限。

3 求解算法

本文是以特定的静态工艺流股需求数据为条件，设定了三个优化目标[式(9)～式(16)]：一是换热网络内部最大能量回收量（MER）；二是同时考虑换热器固定投资费用、换热器面积操作费用和公用工程操作费用的最小年均总成本（TAC）；三是换热网络的最高效率（MEE），这样建立的换热网络多目标混合整数非线性规划(MOMINLP)模型，目的是求出兼顾能量利用数量与品质的最优设计方案。

首先，在给定的物流数据条件下，必然存在MER，这也是换热网络综合优化的最初动机，因此关于能量回收量的松弛系数ε1固定为1以确保能量回收保持最大量。然后以最小TAC 为单一目标求解换热网络优化模型，再给该TAC 值赋以多点的松弛系数ε2求解相应的MEE，通过此约束算法最终得到换热网络多目标优化的Pareto 前沿，以剩余流股流SE 等效代表效率MEE 为例，通过判断SE 是否还继续增长作为终止计算条件，如果SE达到最大值SEmax则不再进行无收益的增大TAC 计算，算法流程如图5 所示。如图6 所示，假如模型的完整解空间为Ω，ε 约束法依次以ε1-MER 和ε2-TAC 为约束边界，使得求模型最优解过程的搜索空间大幅缩小，相应的计算时间也将缩短。另外，在多目标约束优化算法计算换热网络MOMINLP 问题时拆分了多个MINLP 问题，而对于单个MINLP 问题的求解算法已有众多成熟的研究成果[16,34-35]，本文的搜索算法采用基于多面体分支切割算法的BARON软件[36]，它可以完整地覆盖整个搜索区域，对MINLP 问题适用性较好，可以精确求解本文多目标优化模型的子问题。

图5 换热网络多目标约束优化方法Fig.5 Multi-objective constrained algorithm in HEN

图6 ε约束法缩小搜索区域Fig.6 ε-Constrained algorithm narrowing search area

4 案例计算

采用本文介绍的多目标ε 约束算法应用于10SP1 算例进行验证。10SP1 算例的流体参数数据最早来源于Pho 等[37]，该算例是换热网络综合优化问题的经典问题之一，被国内外专家学者们认为是换热网络综合优化问题中最难解决的问题之一，可以作为换热网络综合优化方法的试金石[38]。但是其原始数据中的物理单位都是英制单位，为了便于计算，本文将其转化成国际单位制的数据，如表1 所示，过程流体由5 股热流体和5 股冷流体组成，冷热公用工程分别为冷却水和蒸汽。其中，换热器面积的费用系数β2= 145.63 USD·m-2·a-1，指数系数α=0.6，热公用工程操作费用系数β3= 37.643 USD·kW-1·a-1，冷公用工程操作费用系数 β4=18.123 USD·kW-1·a-1，换热器和冷却器的传热系数k1= k3= 0.852 kW·m-2·K-1，加热器传热系数k2=1.136 kW·m-2·K-1，换热器最小传热温差ΔTmin设为10 K。

在满足MER 条件下得到最小TAC，考虑实际换热网络工程中投资方对费用的敏感度，取松弛系数ε2为1.01～1.1 的10 个等差值，投资费用大于1.1 倍TAC 的设计方案则不予考虑，再通过计算获得不同ε2值对应的费用约束并以MEE 为目标，得到多目标优化的最终设计方案。通过与最小TAC 方案做比较得到剩余流股流增长率与费用增长率的关系，不同ε2值时的SE、η 与对应TAC 的双目标Pareto 前沿如图7 所示。由图7 中可以看出，求得TAC 最小值从而建立成本约束后，随着松弛系数的增加，该约束条件逐渐放宽从积极约束变成非积极约束，效率先是大幅增加而后趋于定值，而此时最小年均总成本则随着松弛系数的增加仍然在稳定增加。当ε2为1.05 时效率的增长率相比于年均总成本增幅最大(图8)，达到费效比最小的状态，即以5%的费用增幅换取9.48%的效率提升，故取在该点处的MEE 为换热网络最优效率，并取对应的优化设计方案作为整个多目标优化方法的最终最优结果，如图9 所示。通过与图10 的网络结构进行对比，可以直观地看到图9 中流股之间换热的匹配性更高，换热器的平均换热温差就更小，不可逆损失也就越小，因此效率MEE 更高，另外，也可以发现图9 中的剩余流股热量主要集中在温度较高的热流股H4 上，对应于图11(c)剩余流股部分的温度更高。

表1 10SP1问题的流股数据Table 1 10SP1 problem data

图7 SE与TAC的Pareto前沿Fig.7 Pareto frontier between TAC and SE

图8 不同ε2值下的增幅对比Fig.8 Comparison of increase in different ε2 values

将通过本文算法得到的结果与参考文献的计算结果进行对比，如表2 所示。首先采用AMTD 计算的网络结构用LMTD 换算为TAC*AMTD，它与TACAMTD差别在0.1%～2.6%之间，验证了前文提出的换热网络优化问题中可以采用AMTD 代替LMTD 应用于换热网络模型。从表中还可以看出，在以TAC 为单目标计算时，方法2 不但能够得到相对于其他方法的最优解，相对于方法1 还大幅缩短了搜索时间，最后本文多目标约束方法的计算时间仅为方法1 的1.8%；本文多目标约束优化方法在可接受的TAC 范围内，得到了最高的效率η=0.772。

夹点理论中的组合曲线是由多个流股的热负荷或热容流率加在一起产生的，在一定温度区间内同一条组合曲线对应着大量不同的流股组合情况。在相同的换热量时，不同的换热网络设计方案都是如图3所示在一定温度范围内由总的组合曲线拆分成内部换热流股和外部剩余流股的结果，拆分的方式主要是通过改变热、冷流股的热容流率进而影响换热网络的能量品质损失与经济性，即在经济性允许的范围内，尽量减小内部换热过程的流耗散，增大剩余流股的流。图11(a)是10SP1案例按照夹点方法得到的组合曲线，根据在一定温度区间内的组合曲线可由不同流股的分曲线组合而成的概念，结合图3 改造的换热网络组合曲线，可以分别对经济性目标方法的结果（图10）和多目标方法的结果（图9）作出相应的组合曲线，如图11(b)、(c)所示。在该10SP1 案例中冷流股的能量可以全部被热流股回收利用，只有热流股有剩余部分，拆分的只有热流股曲线，在其他案例中同理也可以根据需要对冷流股曲线进行拆分。在图11(c)的组合曲线中是多目标优化方法找到的综合经济性、能量数量与品质的最优流股曲线组合，内部换热部分的热、冷流股组合曲线所围区域DFGID 的面积相对于单目标方法更小，即流耗散更小，并且此方法得到的剩余热流股部分的温度TA要高于另外两种方法的温度TA和TB，更高的温度也意味着更大的节能潜力。

图9 MER和TAC松弛度1.05条件下以MEE为目标得到的设计方案Fig.9 Result based on MEE target constrained in MER and TAC

图10 MER条件下最小TAC为目标得到的设计方案Fig.10 Result based on TAC target constrained in MER

表2 几种方法的结果对比Table 2 Comparison of results among several methods

5 结论

本文针对换热网络综合中不仅要追求能量数量的回收效率，还要考虑能量品质的回收效率问题，基于不可逆传热过程中的理论，定义了剩余流股流表示的换热网络效率，建立了一个综合能量、费用和效率的多目标混合整数非线性规划模型。利用ε 约束法与BARON 软件结合的多目标约束优化算法，求解得到换热网络多目标优化的Pareto 前沿。另外还具体分析了不同的建模方式对变量数目、模型特性的影响，在建立换热网络模型时优先选择变量数目少、线性方程的模型表达式。

通过对经典10SP1 案例的计算研究表明，本文多目标约束优化方法得到的结果满足最小公用工程量1878.96 kW，在年度投资费用松弛系数为1.05时，达到费效比最小的状态，能够以5%的费用增幅换取9.48%的效率提升，此为10SP1 案例多目标优化的最优解，此时TAC 为42157.9 USD，η 为0.772，SE 为740800 kW·K，剩余流股部分有更大的节能潜力。而且多目标约束算法使本案例的求解时间仅为普通单目标求解时间的1.8%，说明多目标约束优化算法不但可以使约束条件从能量、费用上直观可控可调，而且计算量小，求解速度快。最后通过T-Q 图中的换热网络组合曲线对比不同优化方案的流耗散，说明先将换热网络划分为内部换热部分与剩余流股部分，再根据经济性与效率进行优化设计的方法，对换热网络工程具有重要意义。