2019年全国Ⅲ卷理科15题的多解及推广*

广东华南师范大学数学科学学院 (510631) 蒋红珠四川内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 刘成龙四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春

一、问题再现

二、问题解决

问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，是数学思维不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程．[1]从不同角度解决问题，有助于学生多角度认识问题，发展求异思维．

点评：分析1对应的是最简单的方法，也是最容易想到的办法，分析2对应的方法有助于深入思考问题．

三、问题推广

张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广．数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题．”[2]

分析1:将问题推广到一般方程．

分析2:如果点M为椭圆C上一点且在第二、三、四象限，问题的结果又会怎样变化呢？

(3)基坑开挖过程中，桩间土体流坍。现场踏勘情况表明，隧道下部地层为中砂，在基坑开挖中有桩间土体流失现象发生，致使隧道侧面及基底地层损失和漏空，进一步影响了隧道结构的受力状态。

分析3:如果长轴在y轴上，结果又会怎样变化呢？

分析4:问题的背景为双曲线，结果又将如何变化呢？

|F1F2|=|MF2|为等腰三角形，则M的纵坐标为

点评：立足成立条件、结构及解决方法将原问题进行推广，对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有积极意义．