“数形”关联 “旧曲”新唱 深度学习能力自然生长——以“二次函数图像与性质的复习”为例

江苏省太仓市第一中学 (215400) 朱建良

“激发自主探究，提升学习能力”是变革初中数学课堂学习方式的主要途径，通过创设探索性数学问题情境，培养和发展学生的数学思维能力，以问题探究为载体，遵循数学学习规律，加深理解，揭示数学知识本质．笔者以“二次函数图像与性质的复习”为例，通过递进式的设问、变式拓展，以问题为思维导向，深入思考，意在帮助学生学会反思，感悟内涵，获得认知数学的方法．

1.一题多变——问题驱动探究

教师设计科学、合理的问题情境，拓展引申，辅助于学法指导，对原题的提问方式进行改变，对原题的结论进行延伸和扩展，也可把习题的因果关系倒置，以“一题多变”为载体，引导学生进行有效探究．帮助学生积累经验，通过问题驱动来引导学生不自觉地形成“分析问题能力”和“解决问题能力”．

图1

问题1 如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴是直线x=1，其图像一部分如图所示．

(1)求证：2c<3b；

(2)若抛物线与x轴交于点(-1,0)，问(1)的结论仍成立吗？

(3))若抛物线与x轴交于点(-1,0)，与y轴的交点介于点(0,2)与点(0,3)之间，设顶点P(1,t)，试求t的范围？

(2)当x=-1时，有y=a-b+c=0，有2c<3b.

设计意图:问题(1)(2)变化特殊点的坐标，揭示二次函数图像位置与系数a、b、c的数量关系之间的内在联系，加深学生对抛物线的轴对称性的理解．问题(3)把抛物线与y轴的交点问题转化为常数项c的变化区域讨论，再通过演算，推理出顶点P的纵坐标t的取值范围，问题设计流畅，环环相扣，较好地培养了学生的抽象意识和推理能力．

2.多题归一——挖掘问题本质

在“多题归一”探究中培养问题意识，在问题意识中实现自主探究，循序渐进，拓展开阔学生的数学思维，找到解决问题的通性通法，关注问题本质，把握内在规律，迁移解题方法，提高学习效率．

图2

问题2 如图2，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴是直线x=1，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为P，若已知点A(-1,0)，OB=OC．若关于x的方程ax2+bx+c=m有实数根，求m的取值范围．

图3

设计意图:问题2把讨论关于x的方程实数根的情况转化为直线与抛物线交点问题，由“数”联想到“形”，再由“形”的特征求解“数”的范围，涉及构造法，转化思想，方程思想，问题的求解巧妙地把画图操作、观察发现、探究计算融合在一起，较好地增强了学生的实践能力，培养了学生的创新精神．

变式1 若关于x的方程|ax2+bx+c|=k(k≠0)有四个不相等的实数根，求k的取值范围．

图4

再分别讨论两支抛物线图象与直线y=k的交点情况，当0

变式2 若关于x的方程ax2+b|x|+c=n有两个不相等的实数根，求n的取值范围．

图5

设计意图:在原抛物线模型的条件下，变化自变量x的绝对值条件，分类讨论，根据对称性画出抛物线的另一半图像，问题显得“丰满”，由“数”及“形”，抛物线的对称轴由x轴到y轴变化位置，丰富了图形内涵，提升了思维层次．问题2的变式出的新问题合乎情理，合乎逻辑，数学思维训练变得精彩纷呈．

3.强化模型——寻找问题突破口

初中数学课堂教学设计关注数学知识系统性的整体架构，通过对问题解决过程的反思，典型问题进行“归类”，建立数学模型，通过建模找到解决问题关键点和突破口，并提炼出解决某类问题的方法，自动建构模型，有效迁移，达到“以题会类”的教学境界．

图6

拓展1 续问题2，如图6，能否在抛物线上的找一点Q，使ΔBCQ是以BC为直角边的直角三角形，试求出点Q的坐标．

解析:如图6，作垂直于直线BC的两条直线y1=x+3，y2=x-3，把直线与抛物线的交点问题转化为

设计意图:设计探求特殊动点坐标问题，引导学生整体认识图形特征，细心分析动点Q显性或隐性的不变元素，构造方程模型求解几何图形的特殊点坐标，归纳总结，提炼方法，通法不仅可以帮助学生理解动点坐标的本质，也可优化思维过程，形成自我方法优化，快速准确地解决问题．

变式3 能否在抛物线上的对称轴上找一点G，使ΔBCG为直角三角形，试求出点G的坐标．

4.“生长”问题——唤醒问题生命力

剖析典型问题，寻找问题源，引导学生逐一回顾处理相关问题的知识源，分析知识源的典型特征，选取适当的问题源拓展延伸，帮助学生感悟“数学问题一般都是运用所学过的知识加以解决的”的转化思想，达成学习目标．

图7

变式4 如图7，续问题2，如图点M为x轴上的一点，若∠PBC=∠MCB，试求点M的坐标．

设计意图:变式问题的本质是抛物线背景下几何图形的特征探究，二次函数相关问题的特征是数形结合的有效载体，函数模型是客观世界的重要模型，变式问题中直线CM的构造与求解的解析式是解决问题的突破口，也是数形结合的有效衔接环节，其探究思路如下图示：

5.能力立意——提升数学素养

在提升学生应用知识和技能解决问题的能力的同时，渗透情感体验和价值观的建构，教会学生观察、分析、抽象和概括；归纳、演绎和类比进行推理，会准确地阐述自己的思想和观点；升华学生数学思维的宽度和深度，形成良好的数学思维品质．

图8

拓展2 续问题2，如图8，宽度为1的直尺平行于y轴，在点B、C之间平行移动，直尺的长边所在直线被直线BC和抛物线截得两线段EF、GH，设F点横坐标为m(0

解析:F(m,m+3)，则E(m,-m2+2m+3)，可计算出EF=-m2+3m，同理得GH=-m2+m+2，EF-GH=2(m-1)，∴当0GH．

设计意图:由动点位置变化拓展到特殊线段长度的比较，透视现象看本质，类比探究，把线段长转化为动点坐标表示，由问题导学，将学生的思维引向解决问题的方向，关注学生了的持续生长，使学生经历的不仅是一个解答，更是一种研究问题的方法．

以变式拓展的问题串为探求线索，引导学生身历问题情境，获得体验，积累经验，通过动点、动直线与抛物线位置关系的变化为载体，问题设计强化了抛物线的对称性，强调用图意识，变式拓展问题呈现了学生数学思维的碰撞，动态问题的探究引导学生感悟本质，获得思维深刻性，使数形结合成为自觉，从而提升学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．