对2019年高考数学全国Ⅱ卷理科21题的探究

江苏省灌南高级中学 (222500) 刘鑫钧安徽省淮北市第一中学 (235000) 周宗杰

一、考题再现

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E,连接QE并延长交C于点G.

(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

二、题源及分析

(一)题源

此题是由2011年江苏卷18题改编而来.

图1

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.

(二)分析

1.两道高考题的共性主要有四个方面：

(1)两个椭圆方程是一样的.

(2)全国卷Ⅱ后两问的条件与江苏卷的的题干中条件是一致的.

(3)全国卷Ⅱ的第二问表面上是证明直角三角形，实际上只要证明PQ⊥PG，因此与江苏卷的第三问实质上是一样的.

(4)两个高考题均为三问.

2.两道高考题的异性主要有两个个方面：

(1)全国卷Ⅱ不是直接告知椭圆方程，而是以斜率的乘积为定值这一条件呈现，需先求轨迹方程.

(2)从难度上来看：全国卷Ⅱ增加了求△PQG的最值一问，难度增大.

三、解法探究

对于全国卷Ⅱ的三个问题，这里主要探究第二问的解法.

评析：△PQG是运动变化的，但是变化的源头在PQ，它是主动，其它因它而动，是被动的，进一步分析，发现P,Q两点关于原点对称，因此直线PQ动本质就是点P在动，因此可以假设点P(x0,y0).

评析：△PQG的变化是由于直线PQ变化导致的，而刻画直线的变化的另一个视角就是通过直线斜率k来刻画，因此假设直线PQ的方程为y=kx是自然的，然后其它变化的点Q,G,E，及直线QG均可用k来表示，这样PQ,PG均能用k来表示，最后直接运算kPQkPG的值，从而获得问题的解答.

(四)解法4：(几何法)如图2，连接PE并延长交椭圆于P1，由PE⊥x轴，所以P1(x0,-y0)，由于P,Q关于原点对称，则Q(-x0,-y0)，所以P1Q∥x，P1Q⊥PP1.kGQ=kQE=

图2

四、教学启示

1.立足变式，深化问题认识

解题教学不仅要一题多解，更要善于多题一解，因此要善于对问题进行变式.顾泠沅等学者把变式教学分为概念性变式和过程性变式教学两类.概念性变式教学突出对概念内涵的理解，过程性变式教学突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展，通过过程性变式教学，使数学教学有层次地递进[1].利用过程性变式可以对一个初始问题进行变式，从而深化对这类问题的认识.

图3

图4

(1)略；(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP交l于点M．(ⅰ)设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；(ⅱ)略

变式不是目的，目的在于要有意识，有目的的引导学生从“变化”中能寻找到“不变”的性质，从而认识到题目的本质，将众多繁杂、凌乱的问题整理为简单、有序的结构，从而减轻学习的压力，这就需要引导学生善于对数学问题进行抽象.

2.基于数学抽象，归纳数学问题

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象.表现在数学概念、命题、思想方法、和知识体系方面的抽象.通过两道高考题的呈现，及两道模考题的变式，给学生提供了一定的实例，那么如何进一步概括抽象出四个试题，将它们从形式上统一起来呢？

经过分析可以看出全国卷Ⅱ高考题中证明△PQG是直角三角形与江苏高考题证明PA⊥PB两题的本质上就是证明斜率之积-1，两道模考题均是证明斜率之积为定值.

因此可以抽象出一个更一般的问题：已知两条直线l1,l2的斜率为k1,k2，λ为实数.证明：k1k2=λ.

3.提炼问题解法，实现忘形得一

高三解题教学，贵在跳出题海，掌握一类问题的普适性解法.经过对这四道试题经过深入的分析，

可以得到一个统一的解法：换k.这种解法一般操作如下：

事实上两道高考题中的解法3和解法4就是换k这一技巧下的具体应用.为了进一步的说明这种解法的普适性，我们以变式1为例.

通过以上分析，我们可以看出尽管四个题目中图形不同，所证结论外在之形亦有所区别，但实质上它们可以归一，一种题型，一种解法.

五、结语

G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”.因此在高三的解题教学中，不仅仅要启发学生多角度、多层次的去思考解决问题，积累数学解题经验，更要善于引导学生发现不同试题之间的区别与与联系,培养学生归纳总结问题，提炼一般模型及解法，从而培养学生的数学核心素养.